Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4251 / 2735
↖ ↑ ↗
← N 51.206883°
E  6.811523°		 ← 3 061.44 m → N 51.206883°
E  6.855469°		 →
↑
3 062.35 m
↓
↑
3 062.35 m
↓
N 51.179343°
E  6.811523°		 ← 3 063.27 m →
9 377 992 m²		 N 51.179343°
E  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51898193359375 y=0.33392333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51898193359375 × 213)
    floor (0.51898193359375 × 8192)
    floor (4251.5)     		tx = 4251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33392333984375 × 213)
    floor (0.33392333984375 × 8192)
    floor (2735.5)     		ty = 2735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4251 / 2735 ti = "13/4251/2735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4251/2735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4251 ÷ 213
    4251 ÷ 8192     		x = 0.5189208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2735 ÷ 213
    2735 ÷ 8192     		y = 0.3338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5189208984375 × 2 - 1) × π
    0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3338623046875 × 2 - 1) × π
    0.332275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04387392612634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11888351} λ = 0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04387392612634))-π/2
    2×atan(2.84019844896029)-π/2
    2×1.23226252085071-π/2
    2.46452504170142-1.57079632675     		φ = 0.89372871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89372871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.206883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4251 KachelY 2735 0.11888351 0.89372871 6.811523 51.206883
    Oben rechts KachelX + 1 4252 KachelY 2735 0.11965050 0.89372871 6.855469 51.206883
    Unten links KachelX 4251 KachelY + 1 2736 0.11888351 0.89324804 6.811523 51.179343
    Unten rechts KachelX + 1 4252 KachelY + 1 2736 0.11965050 0.89324804 6.855469 51.179343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89372871-0.89324804) × R
    0.000480669999999961 × 6371000     		dl = 3062.34856999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89372871-0.89324804) × R
    0.000480669999999961 × 6371000     		dr = 3062.34856999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11888351-0.11965050) × cos(0.89372871) × R
    0.000766990000000009 × 0.626510182651834 × 6371000     		do = 3061.4378036449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11888351-0.11965050) × cos(0.89324804) × R
    0.000766990000000009 × 0.626884750821521 × 6371000     		du = 3063.26812849272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89372871)-sin(0.89324804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626510182651834-0.626884750821521)×R²
    abs(0.11965050-0.11888351)×0.000374568169686396×R²
    0.000766990000000009×0.000374568169686396×6371000²
    0.000766990000000009×0.000374568169686396×40589641000000     		ar = 9377992.40703598m²