Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4252 / 2740
↖ ↑ ↗
← N 51.069017°
E  6.855469°		 ← 3 070.59 m → N 51.069017°
E  6.899414°		 →
↑
3 071.52 m
↓
↑
3 071.52 m
↓
N 51.041394°
E  6.855469°		 ← 3 072.43 m →
9 434 211 m²		 N 51.041394°
E  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51910400390625 y=0.33453369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51910400390625 × 213)
    floor (0.51910400390625 × 8192)
    floor (4252.5)     		tx = 4252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33453369140625 × 213)
    floor (0.33453369140625 × 8192)
    floor (2740.5)     		ty = 2740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4252 / 2740 ti = "13/4252/2740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4252/2740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4252 ÷ 213
    4252 ÷ 8192     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2740 ÷ 213
    2740 ÷ 8192     		y = 0.33447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33447265625 × 2 - 1) × π
    0.3310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04003897415674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04003897415674))-π/2
    2×atan(2.82932728284772)-π/2
    2×1.23105940662107-π/2
    2.46211881324214-1.57079632675     		φ = 0.89132249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89132249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.069017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4252 KachelY 2740 0.11965050 0.89132249 6.855469 51.069017
    Oben rechts KachelX + 1 4253 KachelY 2740 0.12041749 0.89132249 6.899414 51.069017
    Unten links KachelX 4252 KachelY + 1 2741 0.11965050 0.89084038 6.855469 51.041394
    Unten rechts KachelX + 1 4253 KachelY + 1 2741 0.12041749 0.89084038 6.899414 51.041394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89132249-0.89084038) × R
    0.00048210999999998 × 6371000     		dl = 3071.52280999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89132249-0.89084038) × R
    0.00048210999999998 × 6371000     		dr = 3071.52280999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12041749) × cos(0.89132249) × R
    0.000766989999999995 × 0.628383806843492 × 6371000     		do = 3070.59325568536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12041749) × cos(0.89084038) × R
    0.000766989999999995 × 0.628758768837873 × 6371000     		du = 3072.42550495491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89132249)-sin(0.89084038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628383806843492-0.628758768837873)×R²
    abs(0.12041749-0.11965050)×0.000374961994380696×R²
    0.000766989999999995×0.000374961994380696×6371000²
    0.000766989999999995×0.000374961994380696×40589641000000     		ar = 9434211.30551508m²