Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4253 / 2739
↖ ↑ ↗
← N 51.096623°
E  6.899414°		 ← 3 068.76 m → N 51.096623°
E  6.943359°		 →
↑
3 069.68 m
↓
↑
3 069.68 m
↓
N 51.069017°
E  6.899414°		 ← 3 070.59 m →
9 422 913 m²		 N 51.069017°
E  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51922607421875 y=0.33441162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51922607421875 × 213)
    floor (0.51922607421875 × 8192)
    floor (4253.5)     		tx = 4253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33441162109375 × 213)
    floor (0.33441162109375 × 8192)
    floor (2739.5)     		ty = 2739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4253 / 2739 ti = "13/4253/2739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4253/2739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4253 ÷ 213
    4253 ÷ 8192     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2739 ÷ 213
    2739 ÷ 8192     		y = 0.3343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3343505859375 × 2 - 1) × π
    0.331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04080596455066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04080596455066))-π/2
    2×atan(2.83149818211794)-π/2
    2×1.23130031690853-π/2
    2.46260063381707-1.57079632675     		φ = 0.89180431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89180431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.096623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4253 KachelY 2739 0.12041749 0.89180431 6.899414 51.096623
    Oben rechts KachelX + 1 4254 KachelY 2739 0.12118448 0.89180431 6.943359 51.096623
    Unten links KachelX 4253 KachelY + 1 2740 0.12041749 0.89132249 6.899414 51.069017
    Unten rechts KachelX + 1 4254 KachelY + 1 2740 0.12118448 0.89132249 6.943359 51.069017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89180431-0.89132249) × R
    0.000481820000000077 × 6371000     		dl = 3069.67522000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89180431-0.89132249) × R
    0.000481820000000077 × 6371000     		dr = 3069.67522000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12118448) × cos(0.89180431) × R
    0.000766989999999995 × 0.628008924473639 × 6371000     		do = 3068.76139550054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12118448) × cos(0.89132249) × R
    0.000766989999999995 × 0.628383806843492 × 6371000     		du = 3070.59325568536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89180431)-sin(0.89132249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628008924473639-0.628383806843492)×R²
    abs(0.12118448-0.12041749)×0.000374882369852947×R²
    0.000766989999999995×0.000374882369852947×6371000²
    0.000766989999999995×0.000374882369852947×40589641000000     		ar = 9422912.60206506m²