Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4255 / 2741
↖ ↑ ↗
← N 51.041394°
E  6.987305°		 ← 3 072.43 m → N 51.041394°
E  7.031250°		 →
↑
3 073.37 m
↓
↑
3 073.37 m
↓
N 51.013755°
E  6.987305°		 ← 3 074.26 m →
9 445 518 m²		 N 51.013755°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51947021484375 y=0.33465576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51947021484375 × 213)
    floor (0.51947021484375 × 8192)
    floor (4255.5)     		tx = 4255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33465576171875 × 213)
    floor (0.33465576171875 × 8192)
    floor (2741.5)     		ty = 2741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4255 / 2741 ti = "13/4255/2741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4255/2741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4255 ÷ 213
    4255 ÷ 8192     		x = 0.5194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2741 ÷ 213
    2741 ÷ 8192     		y = 0.3345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5194091796875 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3345947265625 × 2 - 1) × π
    0.330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03927198376282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12195147} λ = 0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03927198376282))-π/2
    2×atan(2.82715804799801)-π/2
    2×1.23081835255293-π/2
    2.46163670510587-1.57079632675     		φ = 0.89084038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89084038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.041394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4255 KachelY 2741 0.12195147 0.89084038 6.987305 51.041394
    Oben rechts KachelX + 1 4256 KachelY 2741 0.12271846 0.89084038 7.031250 51.041394
    Unten links KachelX 4255 KachelY + 1 2742 0.12195147 0.89035798 6.987305 51.013755
    Unten rechts KachelX + 1 4256 KachelY + 1 2742 0.12271846 0.89035798 7.031250 51.013755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89084038-0.89035798) × R
    0.000482399999999994 × 6371000     		dl = 3073.37039999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89084038-0.89035798) × R
    0.000482399999999994 × 6371000     		dr = 3073.37039999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12195147-0.12271846) × cos(0.89084038) × R
    0.000766989999999995 × 0.628758768837873 × 6371000     		do = 3072.42550495491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12195147-0.12271846) × cos(0.89035798) × R
    0.000766989999999995 × 0.629133810105984 × 6371000     		du = 3074.25814159501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89084038)-sin(0.89035798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628758768837873-0.629133810105984)×R²
    abs(0.12271846-0.12195147)×0.000375041268110943×R²
    0.000766989999999995×0.000375041268110943×6371000²
    0.000766989999999995×0.000375041268110943×40589641000000     		ar = 9445517.97190593m²