Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4262 / 2750
↖ ↑ ↗
← N 50.792047°
E  7.294922°		 ← 3 088.93 m → N 50.792047°
E  7.338867°		 →
↑
3 089.87 m
↓
↑
3 089.87 m
↓
N 50.764259°
E  7.294922°		 ← 3 090.77 m →
9 547 241 m²		 N 50.764259°
E  7.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52032470703125 y=0.33575439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52032470703125 × 213)
    floor (0.52032470703125 × 8192)
    floor (4262.5)     		tx = 4262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33575439453125 × 213)
    floor (0.33575439453125 × 8192)
    floor (2750.5)     		ty = 2750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4262 / 2750 ti = "13/4262/2750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4262/2750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4262 ÷ 213
    4262 ÷ 8192     		x = 0.520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2750 ÷ 213
    2750 ÷ 8192     		y = 0.335693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520263671875 × 2 - 1) × π
    0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335693359375 × 2 - 1) × π
    0.32861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03236907021753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12732041} λ = 0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03236907021753))-π/2
    2×atan(2.8077096230386)-π/2
    2×1.22864239093903-π/2
    2.45728478187806-1.57079632675     		φ = 0.88648846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88648846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.792047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4262 KachelY 2750 0.12732041 0.88648846 7.294922 50.792047
    Oben rechts KachelX + 1 4263 KachelY 2750 0.12808740 0.88648846 7.338867 50.792047
    Unten links KachelX 4262 KachelY + 1 2751 0.12732041 0.88600347 7.294922 50.764259
    Unten rechts KachelX + 1 4263 KachelY + 1 2751 0.12808740 0.88600347 7.338867 50.764259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88648846-0.88600347) × R
    0.000484990000000018 × 6371000     		dl = 3089.87129000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88648846-0.88600347) × R
    0.000484990000000018 × 6371000     		dr = 3089.87129000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12732041-0.12808740) × cos(0.88648846) × R
    0.000766989999999995 × 0.632136858881542 × 6371000     		do = 3088.93251928631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12732041-0.12808740) × cos(0.88600347) × R
    0.000766989999999995 × 0.632512582300562 × 6371000     		du = 3090.76848925225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88648846)-sin(0.88600347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632136858881542-0.632512582300562)×R²
    abs(0.12808740-0.12732041)×0.000375723419019813×R²
    0.000766989999999995×0.000375723419019813×6371000²
    0.000766989999999995×0.000375723419019813×40589641000000     		ar = 9547240.55067469m²