Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4263 / 2727
↖ ↑ ↗
← N 51.426615°
E  7.338867°		 ← 3 046.81 m → N 51.426615°
E  7.382813°		 →
↑
3 047.76 m
↓
↑
3 047.76 m
↓
N 51.399206°
E  7.338867°		 ← 3 048.64 m →
9 288 725 m²		 N 51.399206°
E  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52044677734375 y=0.33294677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52044677734375 × 213)
    floor (0.52044677734375 × 8192)
    floor (4263.5)     		tx = 4263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33294677734375 × 213)
    floor (0.33294677734375 × 8192)
    floor (2727.5)     		ty = 2727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4263 / 2727 ti = "13/4263/2727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4263/2727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4263 ÷ 213
    4263 ÷ 8192     		x = 0.5203857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2727 ÷ 213
    2727 ÷ 8192     		y = 0.3328857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5203857421875 × 2 - 1) × π
    0.040771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12808740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3328857421875 × 2 - 1) × π
    0.334228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05000984927771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12808740} λ = 0.12808740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05000984927771))-π/2
    2×atan(2.85767926400123)-π/2
    2×1.23418003645199-π/2
    2.46836007290399-1.57079632675     		φ = 0.89756375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12808740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89756375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.426615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4263 KachelY 2727 0.12808740 0.89756375 7.338867 51.426615
    Oben rechts KachelX + 1 4264 KachelY 2727 0.12885439 0.89756375 7.382813 51.426615
    Unten links KachelX 4263 KachelY + 1 2728 0.12808740 0.89708537 7.338867 51.399206
    Unten rechts KachelX + 1 4264 KachelY + 1 2728 0.12885439 0.89708537 7.382813 51.399206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89756375-0.89708537) × R
    0.00047838 × 6371000     		dl = 3047.75898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89756375-0.89708537) × R
    0.00047838 × 6371000     		dr = 3047.75898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12808740-0.12885439) × cos(0.89756375) × R
    0.000766990000000023 × 0.623516501842158 × 6371000     		do = 3046.80920245607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12808740-0.12885439) × cos(0.89708537) × R
    0.000766990000000023 × 0.62389043284113 × 6371000     		du = 3048.63641377347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89756375)-sin(0.89708537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623516501842158-0.62389043284113)×R²
    abs(0.12885439-0.12808740)×0.000373930998971206×R²
    0.000766990000000023×0.000373930998971206×6371000²
    0.000766990000000023×0.000373930998971206×40589641000000     		ar = 9288724.73412274m²