Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4264 / 2712
↖ ↑ ↗
← N 51.835778°
E  7.382813°		 ← 3 019.45 m → N 51.835778°
E  7.426758°		 →
↑
3 020.36 m
↓
↑
3 020.36 m
↓
N 51.808615°
E  7.382813°		 ← 3 021.27 m →
9 122 587 m²		 N 51.808615°
E  7.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52056884765625 y=0.33111572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52056884765625 × 213)
    floor (0.52056884765625 × 8192)
    floor (4264.5)     		tx = 4264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33111572265625 × 213)
    floor (0.33111572265625 × 8192)
    floor (2712.5)     		ty = 2712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4264 / 2712 ti = "13/4264/2712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4264/2712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4264 ÷ 213
    4264 ÷ 8192     		x = 0.5205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2712 ÷ 213
    2712 ÷ 8192     		y = 0.3310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5205078125 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3310546875 × 2 - 1) × π
    0.337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06151470518652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12885439} λ = 0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06151470518652))-π/2
    2×atan(2.89074630319445)-π/2
    2×1.23775065741965-π/2
    2.47550131483931-1.57079632675     		φ = 0.90470499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90470499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.835778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4264 KachelY 2712 0.12885439 0.90470499 7.382813 51.835778
    Oben rechts KachelX + 1 4265 KachelY 2712 0.12962138 0.90470499 7.426758 51.835778
    Unten links KachelX 4264 KachelY + 1 2713 0.12885439 0.90423091 7.382813 51.808615
    Unten rechts KachelX + 1 4265 KachelY + 1 2713 0.12962138 0.90423091 7.426758 51.808615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90470499-0.90423091) × R
    0.000474080000000043 × 6371000     		dl = 3020.36368000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90470499-0.90423091) × R
    0.000474080000000043 × 6371000     		dr = 3020.36368000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12885439-0.12962138) × cos(0.90470499) × R
    0.000766989999999995 × 0.617917556336133 × 6371000     		do = 3019.44999280969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12885439-0.12962138) × cos(0.90423091) × R
    0.000766989999999995 × 0.618290228915873 × 6371000     		du = 3021.27105486996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90470499)-sin(0.90423091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617917556336133-0.618290228915873)×R²
    abs(0.12962138-0.12885439)×0.000372672579740163×R²
    0.000766989999999995×0.000372672579740163×6371000²
    0.000766989999999995×0.000372672579740163×40589641000000     		ar = 9122587.3975716m²