Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4281 / 2711
↖ ↑ ↗
← N 51.862924°
E  8.129883°		 ← 3 017.63 m → N 51.862924°
E  8.173828°		 →
↑
3 018.52 m
↓
↑
3 018.52 m
↓
N 51.835778°
E  8.129883°		 ← 3 019.45 m →
9 111 511 m²		 N 51.835778°
E  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52264404296875 y=0.33099365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52264404296875 × 213)
    floor (0.52264404296875 × 8192)
    floor (4281.5)     		tx = 4281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33099365234375 × 213)
    floor (0.33099365234375 × 8192)
    floor (2711.5)     		ty = 2711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4281 / 2711 ti = "13/4281/2711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4281/2711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4281 ÷ 213
    4281 ÷ 8192     		x = 0.5225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2711 ÷ 213
    2711 ÷ 8192     		y = 0.3309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5225830078125 × 2 - 1) × π
    0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3309326171875 × 2 - 1) × π
    0.338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06228169558044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14189322} λ = 0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06228169558044))-π/2
    2×atan(2.89296432833351)-π/2
    2×1.23798755438991-π/2
    2.47597510877981-1.57079632675     		φ = 0.90517878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90517878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.862924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4281 KachelY 2711 0.14189322 0.90517878 8.129883 51.862924
    Oben rechts KachelX + 1 4282 KachelY 2711 0.14266021 0.90517878 8.173828 51.862924
    Unten links KachelX 4281 KachelY + 1 2712 0.14189322 0.90470499 8.129883 51.835778
    Unten rechts KachelX + 1 4282 KachelY + 1 2712 0.14266021 0.90470499 8.173828 51.835778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90517878-0.90470499) × R
    0.000473789999999918 × 6371000     		dl = 3018.51608999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90517878-0.90470499) × R
    0.000473789999999918 × 6371000     		dr = 3018.51608999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14189322-0.14266021) × cos(0.90517878) × R
    0.000766990000000023 × 0.617544972973626 × 6371000     		do = 3017.62936670894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14189322-0.14266021) × cos(0.90470499) × R
    0.000766990000000023 × 0.617917556336133 × 6371000     		du = 3019.4499928098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90517878)-sin(0.90470499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617544972973626-0.617917556336133)×R²
    abs(0.14266021-0.14189322)×0.000372583362507228×R²
    0.000766990000000023×0.000372583362507228×6371000²
    0.000766990000000023×0.000372583362507228×40589641000000     		ar = 9111510.76210166m²