Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4282 / 2714
↖ ↑ ↗
← N 51.781435°
E  8.173828°		 ← 3 023.09 m → N 51.781435°
E  8.217773°		 →
↑
3 024 m
↓
↑
3 024 m
↓
N 51.754240°
E  8.173828°		 ← 3 024.91 m →
9 144 572 m²		 N 51.754240°
E  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52276611328125 y=0.33135986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52276611328125 × 213)
    floor (0.52276611328125 × 8192)
    floor (4282.5)     		tx = 4282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33135986328125 × 213)
    floor (0.33135986328125 × 8192)
    floor (2714.5)     		ty = 2714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4282 / 2714 ti = "13/4282/2714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4282/2714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4282 ÷ 213
    4282 ÷ 8192     		x = 0.522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2714 ÷ 213
    2714 ÷ 8192     		y = 0.331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522705078125 × 2 - 1) × π
    0.04541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14266021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331298828125 × 2 - 1) × π
    0.33740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05998072439868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14266021} λ = 0.14266021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05998072439868))-π/2
    2×atan(2.88631535326772)-π/2
    2×1.23727643474145-π/2
    2.4745528694829-1.57079632675     		φ = 0.90375654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14266021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90375654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.781435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4282 KachelY 2714 0.14266021 0.90375654 8.173828 51.781435
    Oben rechts KachelX + 1 4283 KachelY 2714 0.14342720 0.90375654 8.217773 51.781435
    Unten links KachelX 4282 KachelY + 1 2715 0.14266021 0.90328189 8.173828 51.754240
    Unten rechts KachelX + 1 4283 KachelY + 1 2715 0.14342720 0.90328189 8.217773 51.754240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90375654-0.90328189) × R
    0.000474650000000021 × 6371000     		dl = 3023.99515000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90375654-0.90328189) × R
    0.000474650000000021 × 6371000     		dr = 3023.99515000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14266021-0.14342720) × cos(0.90375654) × R
    0.000766989999999995 × 0.618662990374151 × 6371000     		do = 3023.0925512346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14266021-0.14342720) × cos(0.90328189) × R
    0.000766989999999995 × 0.61903583251821 × 6371000     		du = 3024.91444186978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90375654)-sin(0.90328189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618662990374151-0.61903583251821)×R²
    abs(0.14342720-0.14266021)×0.000372842144059304×R²
    0.000766989999999995×0.000372842144059304×6371000²
    0.000766989999999995×0.000372842144059304×40589641000000     		ar = 9144572.07883986m²