Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4352 / 2816
↖ ↑ ↗
← N 48.922499°
E 11.250000°		 ← 3 210.81 m → N 48.922499°
E 11.293945°		 →
↑
3 211.75 m
↓
↑
3 211.75 m
↓
N 48.893615°
E 11.250000°		 ← 3 212.67 m →
10 315 307 m²		 N 48.893615°
E 11.293945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53131103515625 y=0.34381103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53131103515625 × 213)
    floor (0.53131103515625 × 8192)
    floor (4352.5)     		tx = 4352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34381103515625 × 213)
    floor (0.34381103515625 × 8192)
    floor (2816.5)     		ty = 2816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4352 / 2816 ti = "13/4352/2816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4352/2816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4352 ÷ 213
    4352 ÷ 8192     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2816 ÷ 213
    2816 ÷ 8192     		y = 0.34375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34375 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Φ = 0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98174770421875))-π/2
    2×atan(2.66911699496664)-π/2
    2×1.21232750861677-π/2
    2.42465501723354-1.57079632675     		φ = 0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4352 KachelY 2816 0.19634954 0.85385869 11.250000 48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 4353 KachelY 2816 0.19711653 0.85385869 11.293945 48.922499
    Unten links KachelX 4352 KachelY + 1 2817 0.19634954 0.85335457 11.250000 48.893615
    Unten rechts KachelX + 1 4353 KachelY + 1 2817 0.19711653 0.85335457 11.293945 48.893615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85385869-0.85335457) × R
    0.000504119999999997 × 6371000     		dl = 3211.74851999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85385869-0.85335457) × R
    0.000504119999999997 × 6371000     		dr = 3211.74851999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.19711653) × cos(0.85385869) × R
    0.000766990000000023 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 3210.81350001282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.19711653) × cos(0.85335457) × R
    0.000766990000000023 × 0.657459214465196 × 6371000     		du = 3212.67003993295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85385869)-sin(0.85335457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.657459214465196)×R²
    abs(0.19711653-0.19634954)×0.000379932972368047×R²
    0.000766990000000023×0.000379932972368047×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379932972368047×40589641000000     		ar = 10315307.0947889m²