Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4353 / 2817
↖ ↑ ↗
← N 48.893615°
E 11.293945°		 ← 3 212.67 m → N 48.893615°
E 11.337891°		 →
↑
3 213.60 m
↓
↑
3 213.60 m
↓
N 48.864715°
E 11.293945°		 ← 3 214.53 m →
10 327 208 m²		 N 48.864715°
E 11.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53143310546875 y=0.34393310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53143310546875 × 213)
    floor (0.53143310546875 × 8192)
    floor (4353.5)     		tx = 4353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34393310546875 × 213)
    floor (0.34393310546875 × 8192)
    floor (2817.5)     		ty = 2817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4353 / 2817 ti = "13/4353/2817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4353/2817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4353 ÷ 213
    4353 ÷ 8192     		x = 0.5313720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2817 ÷ 213
    2817 ÷ 8192     		y = 0.3438720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5313720703125 × 2 - 1) × π
    0.062744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19711653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3438720703125 × 2 - 1) × π
    0.312255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.980980713824829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19711653} λ = 0.19711653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980980713824829))-π/2
    2×atan(2.66707059275699)-π/2
    2×1.21207544901898-π/2
    2.42415089803797-1.57079632675     		φ = 0.85335457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19711653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85335457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.893615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4353 KachelY 2817 0.19711653 0.85335457 11.293945 48.893615
    Oben rechts KachelX + 1 4354 KachelY 2817 0.19788352 0.85335457 11.337891 48.893615
    Unten links KachelX 4353 KachelY + 1 2818 0.19711653 0.85285016 11.293945 48.864715
    Unten rechts KachelX + 1 4354 KachelY + 1 2818 0.19788352 0.85285016 11.337891 48.864715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85335457-0.85285016) × R
    0.000504410000000011 × 6371000     		dl = 3213.59611000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85335457-0.85285016) × R
    0.000504410000000011 × 6371000     		dr = 3213.59611000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19711653-0.19788352) × cos(0.85335457) × R
    0.000766989999999995 × 0.657459214465196 × 6371000     		do = 3212.67003993283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19711653-0.19788352) × cos(0.85285016) × R
    0.000766989999999995 × 0.657839198768838 × 6371000     		du = 3214.52683068288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85335457)-sin(0.85285016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657459214465196-0.657839198768838)×R²
    abs(0.19788352-0.19711653)×0.000379984303642278×R²
    0.000766989999999995×0.000379984303642278×6371000²
    0.000766989999999995×0.000379984303642278×40589641000000     		ar = 10327207.6497703m²