Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4354 / 2818
↖ ↑ ↗
← N 48.864715°
E 11.337891°		 ← 3 214.53 m → N 48.864715°
E 11.381836°		 →
↑
3 215.44 m
↓
↑
3 215.44 m
↓
N 48.835798°
E 11.337891°		 ← 3 216.38 m →
10 339 116 m²		 N 48.835798°
E 11.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53155517578125 y=0.34405517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53155517578125 × 213)
    floor (0.53155517578125 × 8192)
    floor (4354.5)     		tx = 4354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34405517578125 × 213)
    floor (0.34405517578125 × 8192)
    floor (2818.5)     		ty = 2818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4354 / 2818 ti = "13/4354/2818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4354/2818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4354 ÷ 213
    4354 ÷ 8192     		x = 0.531494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2818 ÷ 213
    2818 ÷ 8192     		y = 0.343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531494140625 × 2 - 1) × π
    0.06298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19788352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343994140625 × 2 - 1) × π
    0.31201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.980213723430908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19788352} λ = 0.19788352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980213723430908))-π/2
    2×atan(2.66502575951641)-π/2
    2×1.2118232437089-π/2
    2.4236464874178-1.57079632675     		φ = 0.85285016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19788352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85285016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.864715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4354 KachelY 2818 0.19788352 0.85285016 11.337891 48.864715
    Oben rechts KachelX + 1 4355 KachelY 2818 0.19865051 0.85285016 11.381836 48.864715
    Unten links KachelX 4354 KachelY + 1 2819 0.19788352 0.85234546 11.337891 48.835798
    Unten rechts KachelX + 1 4355 KachelY + 1 2819 0.19865051 0.85234546 11.381836 48.835798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85285016-0.85234546) × R
    0.000504700000000025 × 6371000     		dl = 3215.44370000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85285016-0.85234546) × R
    0.000504700000000025 × 6371000     		dr = 3215.44370000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19788352-0.19865051) × cos(0.85285016) × R
    0.000766989999999995 × 0.657839198768838 × 6371000     		do = 3214.52683068288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19788352-0.19865051) × cos(0.85234546) × R
    0.000766989999999995 × 0.658219234018474 × 6371000     		du = 3216.3838703802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85285016)-sin(0.85234546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657839198768838-0.658219234018474)×R²
    abs(0.19865051-0.19788352)×0.00038003524963659×R²
    0.000766989999999995×0.00038003524963659×6371000²
    0.000766989999999995×0.00038003524963659×40589641000000     		ar = 10339115.8689658m²