Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4354 / 2822
↖ ↑ ↗
← N 48.748945°
E 11.337891°		 ← 3 221.96 m → N 48.748945°
E 11.381836°		 →
↑
3 222.90 m
↓
↑
3 222.90 m
↓
N 48.719961°
E 11.337891°		 ← 3 223.81 m →
10 387 031 m²		 N 48.719961°
E 11.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53155517578125 y=0.34454345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53155517578125 × 213)
    floor (0.53155517578125 × 8192)
    floor (4354.5)     		tx = 4354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34454345703125 × 213)
    floor (0.34454345703125 × 8192)
    floor (2822.5)     		ty = 2822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4354 / 2822 ti = "13/4354/2822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4354/2822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4354 ÷ 213
    4354 ÷ 8192     		x = 0.531494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2822 ÷ 213
    2822 ÷ 8192     		y = 0.344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531494140625 × 2 - 1) × π
    0.06298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19788352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344482421875 × 2 - 1) × π
    0.31103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.977145761855225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19788352} λ = 0.19788352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977145761855225))-π/2
    2×atan(2.65686209220012)-π/2
    2×1.21081296494707-π/2
    2.42162592989414-1.57079632675     		φ = 0.85082960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19788352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85082960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.748945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4354 KachelY 2822 0.19788352 0.85082960 11.337891 48.748945
    Oben rechts KachelX + 1 4355 KachelY 2822 0.19865051 0.85082960 11.381836 48.748945
    Unten links KachelX 4354 KachelY + 1 2823 0.19788352 0.85032373 11.337891 48.719961
    Unten rechts KachelX + 1 4355 KachelY + 1 2823 0.19865051 0.85032373 11.381836 48.719961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85082960-0.85032373) × R
    0.000505869999999908 × 6371000     		dl = 3222.89776999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85082960-0.85032373) × R
    0.000505869999999908 × 6371000     		dr = 3222.89776999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19788352-0.19865051) × cos(0.85082960) × R
    0.000766989999999995 × 0.65935965662025 × 6371000     		do = 3221.95653777153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19788352-0.19865051) × cos(0.85032373) × R
    0.000766989999999995 × 0.65973989930019 × 6371000     		du = 3223.81459107564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85082960)-sin(0.85032373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65935965662025-0.65973989930019)×R²
    abs(0.19865051-0.19788352)×0.000380242679940634×R²
    0.000766989999999995×0.000380242679940634×6371000²
    0.000766989999999995×0.000380242679940634×40589641000000     		ar = 10387030.9200515m²