Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4355 / 2821
↖ ↑ ↗
← N 48.777913°
E 11.381836°		 ← 3 220.10 m → N 48.777913°
E 11.425781°		 →
↑
3 221.05 m
↓
↑
3 221.05 m
↓
N 48.748945°
E 11.381836°		 ← 3 221.96 m →
10 375 092 m²		 N 48.748945°
E 11.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53167724609375 y=0.34442138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53167724609375 × 213)
    floor (0.53167724609375 × 8192)
    floor (4355.5)     		tx = 4355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34442138671875 × 213)
    floor (0.34442138671875 × 8192)
    floor (2821.5)     		ty = 2821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4355 / 2821 ti = "13/4355/2821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4355/2821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4355 ÷ 213
    4355 ÷ 8192     		x = 0.5316162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2821 ÷ 213
    2821 ÷ 8192     		y = 0.3443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5316162109375 × 2 - 1) × π
    0.063232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19865051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3443603515625 × 2 - 1) × π
    0.311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19865051} λ = 0.19865051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977912752249146))-π/2
    2×atan(2.65890066158444)-π/2
    2×1.21106575330526-π/2
    2.42213150661052-1.57079632675     		φ = 0.85133518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19865051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85133518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.777913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4355 KachelY 2821 0.19865051 0.85133518 11.381836 48.777913
    Oben rechts KachelX + 1 4356 KachelY 2821 0.19941750 0.85133518 11.425781 48.777913
    Unten links KachelX 4355 KachelY + 1 2822 0.19865051 0.85082960 11.381836 48.748945
    Unten rechts KachelX + 1 4356 KachelY + 1 2822 0.19941750 0.85082960 11.425781 48.748945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85133518-0.85082960) × R
    0.000505580000000005 × 6371000     		dl = 3221.05018000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85133518-0.85082960) × R
    0.000505580000000005 × 6371000     		dr = 3221.05018000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19865051-0.19941750) × cos(0.85133518) × R
    0.000766989999999995 × 0.658979463333936 × 6371000     		do = 3220.09872582906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19865051-0.19941750) × cos(0.85082960) × R
    0.000766989999999995 × 0.65935965662025 × 6371000     		du = 3221.95653777153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85133518)-sin(0.85082960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658979463333936-0.65935965662025)×R²
    abs(0.19941750-0.19865051)×0.000380193286314112×R²
    0.000766989999999995×0.000380193286314112×6371000²
    0.000766989999999995×0.000380193286314112×40589641000000     		ar = 10375091.8541968m²