Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4358 / 2814
↖ ↑ ↗
← N 48.980217°
E 11.513672°		 ← 3 207.10 m → N 48.980217°
E 11.557617°		 →
↑
3 207.99 m
↓
↑
3 207.99 m
↓
N 48.951367°
E 11.513672°		 ← 3 208.96 m →
10 291 325 m²		 N 48.951367°
E 11.557617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53204345703125 y=0.34356689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53204345703125 × 213)
    floor (0.53204345703125 × 8192)
    floor (4358.5)     		tx = 4358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34356689453125 × 213)
    floor (0.34356689453125 × 8192)
    floor (2814.5)     		ty = 2814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4358 / 2814 ti = "13/4358/2814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4358/2814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4358 ÷ 213
    4358 ÷ 8192     		x = 0.531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2814 ÷ 213
    2814 ÷ 8192     		y = 0.343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531982421875 × 2 - 1) × π
    0.06396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.20095148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343505859375 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.983281685006592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20095148} λ = 0.20095148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983281685006592))-π/2
    2×atan(2.67321451110945)-π/2
    2×1.21283119075625-π/2
    2.4256623815125-1.57079632675     		φ = 0.85486605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20095148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85486605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.980217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4358 KachelY 2814 0.20095148 0.85486605 11.513672 48.980217
    Oben rechts KachelX + 1 4359 KachelY 2814 0.20171847 0.85486605 11.557617 48.980217
    Unten links KachelX 4358 KachelY + 1 2815 0.20095148 0.85436252 11.513672 48.951367
    Unten rechts KachelX + 1 4359 KachelY + 1 2815 0.20171847 0.85436252 11.557617 48.951367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85486605-0.85436252) × R
    0.00050353000000003 × 6371000     		dl = 3207.98963000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85486605-0.85436252) × R
    0.00050353000000003 × 6371000     		dr = 3207.98963000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20095148-0.20171847) × cos(0.85486605) × R
    0.000766990000000023 × 0.65631957862558 × 6371000     		do = 3207.10121704962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20095148-0.20171847) × cos(0.85436252) × R
    0.000766990000000023 × 0.656699400236557 × 6371000     		du = 3208.95721280305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85486605)-sin(0.85436252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65631957862558-0.656699400236557)×R²
    abs(0.20171847-0.20095148)×0.000379821610976938×R²
    0.000766990000000023×0.000379821610976938×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379821610976938×40589641000000     		ar = 10291324.671661m²