Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4361 / 2823
↖ ↑ ↗
← N 48.719961°
E 11.645508°		 ← 3 223.81 m → N 48.719961°
E 11.689453°		 →
↑
3 224.75 m
↓
↑
3 224.75 m
↓
N 48.690960°
E 11.645508°		 ← 3 225.67 m →
10 398 978 m²		 N 48.690960°
E 11.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53240966796875 y=0.34466552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53240966796875 × 213)
    floor (0.53240966796875 × 8192)
    floor (4361.5)     		tx = 4361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34466552734375 × 213)
    floor (0.34466552734375 × 8192)
    floor (2823.5)     		ty = 2823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4361 / 2823 ti = "13/4361/2823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4361/2823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4361 ÷ 213
    4361 ÷ 8192     		x = 0.5323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2823 ÷ 213
    2823 ÷ 8192     		y = 0.3446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5323486328125 × 2 - 1) × π
    0.064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20325245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3446044921875 × 2 - 1) × π
    0.310791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.976378771461304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20325245} λ = 0.20325245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976378771461304))-π/2
    2×atan(2.65482508577947)-π/2
    2×1.21056003077781-π/2
    2.42112006155562-1.57079632675     		φ = 0.85032373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20325245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85032373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.719961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4361 KachelY 2823 0.20325245 0.85032373 11.645508 48.719961
    Oben rechts KachelX + 1 4362 KachelY 2823 0.20401944 0.85032373 11.689453 48.719961
    Unten links KachelX 4361 KachelY + 1 2824 0.20325245 0.84981757 11.645508 48.690960
    Unten rechts KachelX + 1 4362 KachelY + 1 2824 0.20401944 0.84981757 11.689453 48.690960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85032373-0.84981757) × R
    0.000506160000000033 × 6371000     		dl = 3224.74536000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85032373-0.84981757) × R
    0.000506160000000033 × 6371000     		dr = 3224.74536000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20325245-0.20401944) × cos(0.85032373) × R
    0.000766989999999995 × 0.65973989930019 × 6371000     		do = 3223.81459107564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20325245-0.20401944) × cos(0.84981757) × R
    0.000766989999999995 × 0.66012019098618 × 6371000     		du = 3225.67288384746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85032373)-sin(0.84981757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65973989930019-0.66012019098618)×R²
    abs(0.20401944-0.20325245)×0.000380291685989187×R²
    0.000766989999999995×0.000380291685989187×6371000²
    0.000766989999999995×0.000380291685989187×40589641000000     		ar = 10398977.6265823m²