Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4368 / 2864
↖ ↑ ↗
← N 47.517200°
E 11.953125°		 ← 3 300.19 m → N 47.517200°
E 11.997070°		 →
↑
3 301.07 m
↓
↑
3 301.07 m
↓
N 47.487513°
E 11.953125°		 ← 3 302.05 m →
10 897 224 m²		 N 47.487513°
E 11.997070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53326416015625 y=0.34967041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53326416015625 × 213)
    floor (0.53326416015625 × 8192)
    floor (4368.5)     		tx = 4368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34967041015625 × 213)
    floor (0.34967041015625 × 8192)
    floor (2864.5)     		ty = 2864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4368 / 2864 ti = "13/4368/2864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4368/2864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4368 ÷ 213
    4368 ÷ 8192     		x = 0.533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2864 ÷ 213
    2864 ÷ 8192     		y = 0.349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533203125 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349609375 × 2 - 1) × π
    0.30078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.944932165310547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20862139} λ = 0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944932165310547))-π/2
    2×atan(2.57263885851109)-π/2
    2×1.20006396514245-π/2
    2.4001279302849-1.57079632675     		φ = 0.82933160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82933160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.517200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4368 KachelY 2864 0.20862139 0.82933160 11.953125 47.517200
    Oben rechts KachelX + 1 4369 KachelY 2864 0.20938838 0.82933160 11.997070 47.517200
    Unten links KachelX 4368 KachelY + 1 2865 0.20862139 0.82881346 11.953125 47.487513
    Unten rechts KachelX + 1 4369 KachelY + 1 2865 0.20938838 0.82881346 11.997070 47.487513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82933160-0.82881346) × R
    0.000518139999999945 × 6371000     		dl = 3301.06993999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82933160-0.82881346) × R
    0.000518139999999945 × 6371000     		dr = 3301.06993999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20862139-0.20938838) × cos(0.82933160) × R
    0.000766990000000023 × 0.675368842609735 × 6371000     		do = 3300.18531768764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20862139-0.20938838) × cos(0.82881346) × R
    0.000766990000000023 × 0.675750869883859 × 6371000     		du = 3302.05209139924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82933160)-sin(0.82881346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675368842609735-0.675750869883859)×R²
    abs(0.20938838-0.20862139)×0.000382027274123509×R²
    0.000766990000000023×0.000382027274123509×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382027274123509×40589641000000     		ar = 10897223.9677385m²