Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4370 / 2834
↖ ↑ ↗
← N 48.400033°
E 12.041016°		 ← 3 244.27 m → N 48.400033°
E 12.084961°		 →
↑
3 245.26 m
↓
↑
3 245.26 m
↓
N 48.370847°
E 12.041016°		 ← 3 246.13 m →
10 531 516 m²		 N 48.370847°
E 12.084961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53350830078125 y=0.34600830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53350830078125 × 213)
    floor (0.53350830078125 × 8192)
    floor (4370.5)     		tx = 4370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34600830078125 × 213)
    floor (0.34600830078125 × 8192)
    floor (2834.5)     		ty = 2834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4370 / 2834 ti = "13/4370/2834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4370/2834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4370 ÷ 213
    4370 ÷ 8192     		x = 0.533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2834 ÷ 213
    2834 ÷ 8192     		y = 0.345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533447265625 × 2 - 1) × π
    0.06689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21015537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345947265625 × 2 - 1) × π
    0.30810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.967941877128174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21015537} λ = 0.21015537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967941877128174))-π/2
    2×atan(2.63252082869139)-π/2
    2×1.20776812595292-π/2
    2.41553625190584-1.57079632675     		φ = 0.84473993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21015537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.041016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84473993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.400033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4370 KachelY 2834 0.21015537 0.84473993 12.041016 48.400033
    Oben rechts KachelX + 1 4371 KachelY 2834 0.21092236 0.84473993 12.084961 48.400033
    Unten links KachelX 4370 KachelY + 1 2835 0.21015537 0.84423055 12.041016 48.370847
    Unten rechts KachelX + 1 4371 KachelY + 1 2835 0.21092236 0.84423055 12.084961 48.370847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84473993-0.84423055) × R
    0.000509380000000004 × 6371000     		dl = 3245.25998000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84473993-0.84423055) × R
    0.000509380000000004 × 6371000     		dr = 3245.25998000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21015537-0.21092236) × cos(0.84473993) × R
    0.000766989999999995 × 0.663925784885643 × 6371000     		do = 3244.26889290166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21015537-0.21092236) × cos(0.84423055) × R
    0.000766989999999995 × 0.664306612320225 × 6371000     		du = 3246.12980360539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84473993)-sin(0.84423055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663925784885643-0.664306612320225)×R²
    abs(0.21092236-0.21015537)×0.000380827434581676×R²
    0.000766989999999995×0.000380827434581676×6371000²
    0.000766989999999995×0.000380827434581676×40589641000000     		ar = 10531515.799726m²