Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4372 / 2836
↖ ↑ ↗
← N 48.341646°
E 12.128906°		 ← 3 247.99 m → N 48.341646°
E 12.172852°		 →
↑
3 248.89 m
↓
↑
3 248.89 m
↓
N 48.312428°
E 12.128906°		 ← 3 249.85 m →
10 555 394 m²		 N 48.312428°
E 12.172852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53375244140625 y=0.34625244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53375244140625 × 213)
    floor (0.53375244140625 × 8192)
    floor (4372.5)     		tx = 4372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34625244140625 × 213)
    floor (0.34625244140625 × 8192)
    floor (2836.5)     		ty = 2836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4372 / 2836 ti = "13/4372/2836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4372/2836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4372 ÷ 213
    4372 ÷ 8192     		x = 0.53369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2836 ÷ 213
    2836 ÷ 8192     		y = 0.34619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53369140625 × 2 - 1) × π
    0.0673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21168935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34619140625 × 2 - 1) × π
    0.3076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.966407896340332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21168935} λ = 0.21168935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966407896340332))-π/2
    2×atan(2.62848568802197)-π/2
    2×1.20725860915929-π/2
    2.41451721831859-1.57079632675     		φ = 0.84372089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21168935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84372089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.341646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4372 KachelY 2836 0.21168935 0.84372089 12.128906 48.341646
    Oben rechts KachelX + 1 4373 KachelY 2836 0.21245634 0.84372089 12.172852 48.341646
    Unten links KachelX 4372 KachelY + 1 2837 0.21168935 0.84321094 12.128906 48.312428
    Unten rechts KachelX + 1 4373 KachelY + 1 2837 0.21245634 0.84321094 12.172852 48.312428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84372089-0.84321094) × R
    0.000509949999999981 × 6371000     		dl = 3248.89144999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84372089-0.84321094) × R
    0.000509949999999981 × 6371000     		dr = 3248.89144999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21168935-0.21245634) × cos(0.84372089) × R
    0.000766989999999995 × 0.664687476582563 × 6371000     		do = 3247.99089426771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21168935-0.21245634) × cos(0.84321094) × R
    0.000766989999999995 × 0.665068384757071 × 6371000     		du = 3249.85219950654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84372089)-sin(0.84321094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664687476582563-0.665068384757071)×R²
    abs(0.21245634-0.21168935)×0.000380908174507422×R²
    0.000766989999999995×0.000380908174507422×6371000²
    0.000766989999999995×0.000380908174507422×40589641000000     		ar = 10555393.6641436m²