Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4383 / 2849
↖ ↑ ↗
← N 47.960503°
E 12.612305°		 ← 3 272.20 m → N 47.960503°
E 12.656250°		 →
↑
3 273.16 m
↓
↑
3 273.16 m
↓
N 47.931066°
E 12.612305°		 ← 3 274.07 m →
10 713 517 m²		 N 47.931066°
E 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53509521484375 y=0.34783935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53509521484375 × 213)
    floor (0.53509521484375 × 8192)
    floor (4383.5)     		tx = 4383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34783935546875 × 213)
    floor (0.34783935546875 × 8192)
    floor (2849.5)     		ty = 2849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4383 / 2849 ti = "13/4383/2849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4383/2849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4383 ÷ 213
    4383 ÷ 8192     		x = 0.5350341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2849 ÷ 213
    2849 ÷ 8192     		y = 0.3477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5350341796875 × 2 - 1) × π
    0.070068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22012624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3477783203125 × 2 - 1) × π
    0.304443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.95643702121936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22012624} λ = 0.22012624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95643702121936))-π/2
    2×atan(2.60240761214136)-π/2
    2×1.20393250218688-π/2
    2.40786500437377-1.57079632675     		φ = 0.83706868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22012624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83706868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.960503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4383 KachelY 2849 0.22012624 0.83706868 12.612305 47.960503
    Oben rechts KachelX + 1 4384 KachelY 2849 0.22089323 0.83706868 12.656250 47.960503
    Unten links KachelX 4383 KachelY + 1 2850 0.22012624 0.83655492 12.612305 47.931066
    Unten rechts KachelX + 1 4384 KachelY + 1 2850 0.22089323 0.83655492 12.656250 47.931066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83706868-0.83655492) × R
    0.00051376000000003 × 6371000     		dl = 3273.16496000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83706868-0.83655492) × R
    0.00051376000000003 × 6371000     		dr = 3273.16496000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22012624-0.22089323) × cos(0.83706868) × R
    0.000766989999999995 × 0.669642742354945 × 6371000     		do = 3272.20476721462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22012624-0.22089323) × cos(0.83655492) × R
    0.000766989999999995 × 0.670024214973752 × 6371000     		du = 3274.06883060674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83706868)-sin(0.83655492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669642742354945-0.670024214973752)×R²
    abs(0.22089323-0.22012624)×0.000381472618807166×R²
    0.000766989999999995×0.000381472618807166×6371000²
    0.000766989999999995×0.000381472618807166×40589641000000     		ar = 10713516.9151327m²