Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4384 / 2847
↖ ↑ ↗
← N 48.019324°
E 12.656250°		 ← 3 268.48 m → N 48.019324°
E 12.700195°		 →
↑
3 269.41 m
↓
↑
3 269.41 m
↓
N 47.989922°
E 12.656250°		 ← 3 270.34 m →
10 689 026 m²		 N 47.989922°
E 12.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53521728515625 y=0.34759521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53521728515625 × 213)
    floor (0.53521728515625 × 8192)
    floor (4384.5)     		tx = 4384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34759521484375 × 213)
    floor (0.34759521484375 × 8192)
    floor (2847.5)     		ty = 2847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4384 / 2847 ti = "13/4384/2847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4384/2847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4384 ÷ 213
    4384 ÷ 8192     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2847 ÷ 213
    2847 ÷ 8192     		y = 0.3475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3475341796875 × 2 - 1) × π
    0.304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.957971002007202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957971002007202))-π/2
    2×atan(2.60640271884558)-π/2
    2×1.20444581919195-π/2
    2.4088916383839-1.57079632675     		φ = 0.83809531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83809531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.019324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4384 KachelY 2847 0.22089323 0.83809531 12.656250 48.019324
    Oben rechts KachelX + 1 4385 KachelY 2847 0.22166022 0.83809531 12.700195 48.019324
    Unten links KachelX 4384 KachelY + 1 2848 0.22089323 0.83758214 12.656250 47.989922
    Unten rechts KachelX + 1 4385 KachelY + 1 2848 0.22166022 0.83758214 12.700195 47.989922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83809531-0.83758214) × R
    0.000513170000000063 × 6371000     		dl = 3269.4060700004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83809531-0.83758214) × R
    0.000513170000000063 × 6371000     		dr = 3269.4060700004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.22166022) × cos(0.83809531) × R
    0.000766989999999995 × 0.668879928562778 × 6371000     		do = 3268.47728273768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.22166022) × cos(0.83758214) × R
    0.000766989999999995 × 0.669261315892548 × 6371000     		du = 3270.34092936548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83809531)-sin(0.83758214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668879928562778-0.669261315892548)×R²
    abs(0.22166022-0.22089323)×0.000381387329769445×R²
    0.000766989999999995×0.000381387329769445×6371000²
    0.000766989999999995×0.000381387329769445×40589641000000     		ar = 10689026.2112145m²