Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4384 / 2848
↖ ↑ ↗
← N 47.989922°
E 12.656250°		 ← 3 270.34 m → N 47.989922°
E 12.700195°		 →
↑
3 271.25 m
↓
↑
3 271.25 m
↓
N 47.960503°
E 12.656250°		 ← 3 272.20 m →
10 701 164 m²		 N 47.960503°
E 12.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53521728515625 y=0.34771728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53521728515625 × 213)
    floor (0.53521728515625 × 8192)
    floor (4384.5)     		tx = 4384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34771728515625 × 213)
    floor (0.34771728515625 × 8192)
    floor (2848.5)     		ty = 2848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4384 / 2848 ti = "13/4384/2848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4384/2848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4384 ÷ 213
    4384 ÷ 8192     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2848 ÷ 213
    2848 ÷ 8192     		y = 0.34765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34765625 × 2 - 1) × π
    0.3046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.957204011613281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957204011613281))-π/2
    2×atan(2.60440439944139)-π/2
    2×1.20418923382357-π/2
    2.40837846764713-1.57079632675     		φ = 0.83758214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83758214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.989922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4384 KachelY 2848 0.22089323 0.83758214 12.656250 47.989922
    Oben rechts KachelX + 1 4385 KachelY 2848 0.22166022 0.83758214 12.700195 47.989922
    Unten links KachelX 4384 KachelY + 1 2849 0.22089323 0.83706868 12.656250 47.960503
    Unten rechts KachelX + 1 4385 KachelY + 1 2849 0.22166022 0.83706868 12.700195 47.960503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83758214-0.83706868) × R
    0.000513459999999966 × 6371000     		dl = 3271.25365999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83758214-0.83706868) × R
    0.000513459999999966 × 6371000     		dr = 3271.25365999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.22166022) × cos(0.83758214) × R
    0.000766989999999995 × 0.669261315892548 × 6371000     		do = 3270.34092936548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.22166022) × cos(0.83706868) × R
    0.000766989999999995 × 0.669642742354945 × 6371000     		du = 3272.20476721462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83758214)-sin(0.83706868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669261315892548-0.669642742354945)×R²
    abs(0.22166022-0.22089323)×0.000381426462397472×R²
    0.000766989999999995×0.000381426462397472×6371000²
    0.000766989999999995×0.000381426462397472×40589641000000     		ar = 10701163.512931m²