Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4896 / 2336
↖ ↑ ↗
← N 60.930432°
E 35.156250°		 ← 2 374.21 m → N 60.930432°
E 35.200196°		 →
↑
2 375.05 m
↓
↑
2 375.05 m
↓
N 60.909073°
E 35.156250°		 ← 2 375.80 m →
5 640 738 m²		 N 60.909073°
E 35.200196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59771728515625 y=0.28521728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59771728515625 × 213)
    floor (0.59771728515625 × 8192)
    floor (4896.5)     		tx = 4896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28521728515625 × 213)
    floor (0.28521728515625 × 8192)
    floor (2336.5)     		ty = 2336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4896 / 2336 ti = "13/4896/2336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4896/2336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4896 ÷ 213
    4896 ÷ 8192     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2336 ÷ 213
    2336 ÷ 8192     		y = 0.28515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28515625 × 2 - 1) × π
    0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34990309330078))-π/2
    2×atan(3.85705173843309)-π/2
    2×1.31711649169017-π/2
    2.63423298338034-1.57079632675     		φ = 1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4896 KachelY 2336 0.61359232 1.06343666 35.156250 60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 4897 KachelY 2336 0.61435931 1.06343666 35.200196 60.930432
    Unten links KachelX 4896 KachelY + 1 2337 0.61359232 1.06306387 35.156250 60.909073
    Unten rechts KachelX + 1 4897 KachelY + 1 2337 0.61435931 1.06306387 35.200196 60.909073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06343666-1.06306387) × R
    0.000372790000000123 × 6371000     		dl = 2375.04509000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06343666-1.06306387) × R
    0.000372790000000123 × 6371000     		dr = 2375.04509000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.61435931) × cos(1.06343666) × R
    0.000766990000000023 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 2374.20641542765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.61435931) × cos(1.06306387) × R
    0.000766990000000023 × 0.486197007658037 × 6371000     		du = 2375.79841553915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06343666)-sin(1.06306387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.486197007658037)×R²
    abs(0.61435931-0.61359232)×0.000325796029385816×R²
    0.000766990000000023×0.000325796029385816×6371000²
    0.000766990000000023×0.000325796029385816×40589641000000     		ar = 5640737.89095907m²