Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 500 / 340
↖ ↑ ↗
← N 51.618016°
W  4.218750°		 ← 24.272 km → N 51.618016°
W  3.867187°		 →
↑
24.331 km
↓
↑
24.331 km
↓
N 51.399206°
W  4.218750°		 ← 24.389 km →
591.983 km²		 N 51.399206°
W  3.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48876953125 y=0.33251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48876953125 × 210)
    floor (0.48876953125 × 1024)
    floor (500.5)     		tx = 500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33251953125 × 210)
    floor (0.33251953125 × 1024)
    floor (340.5)     		ty = 340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 500 / 340 ti = "10/500/340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/500/340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 500 ÷ 210
    500 ÷ 1024     		x = 0.48828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 340 ÷ 210
    340 ÷ 1024     		y = 0.33203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48828125 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33203125 × 2 - 1) × π
    0.3359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05537878203516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07363108} λ = -0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05537878203516))-π/2
    2×atan(2.87306321255058)-π/2
    2×1.23585033445059-π/2
    2.47170066890119-1.57079632675     		φ = 0.90090434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90090434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.618016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 500 KachelY 340 -0.07363108 0.90090434 -4.218750 51.618016
    Oben rechts KachelX + 1 501 KachelY 340 -0.06749515 0.90090434 -3.867187 51.618016
    Unten links KachelX 500 KachelY + 1 341 -0.07363108 0.89708537 -4.218750 51.399206
    Unten rechts KachelX + 1 501 KachelY + 1 341 -0.06749515 0.89708537 -3.867187 51.399206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90090434-0.89708537) × R
    0.00381896999999998 × 6371000     		dl = 24330.6578699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90090434-0.89708537) × R
    0.00381896999999998 × 6371000     		dr = 24330.6578699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07363108--0.06749515) × cos(0.90090434) × R
    0.00613593 × 0.620901320323887 × 6371000     		do = 24272.2806417416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07363108--0.06749515) × cos(0.89708537) × R
    0.00613593 × 0.62389043284113 × 6371000     		du = 24389.1310582465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90090434)-sin(0.89708537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620901320323887-0.62389043284113)×R²
    abs(-0.06749515--0.07363108)×0.00298911251724254×R²
    0.00613593×0.00298911251724254×6371000²
    0.00613593×0.00298911251724254×40589641000000     		ar = 591982799.254652m²