Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 530 / 341
↖ ↑ ↗
← N 51.399206°
E  6.328125°		 ← 24.389 km → N 51.399206°
E  6.679688°		 →
↑
24.448 km
↓
↑
24.448 km
↓
N 51.179343°
E  6.328125°		 ← 24.506 km →
597.687 km²		 N 51.179343°
E  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51806640625 y=0.33349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51806640625 × 210)
    floor (0.51806640625 × 1024)
    floor (530.5)     		tx = 530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33349609375 × 210)
    floor (0.33349609375 × 1024)
    floor (341.5)     		ty = 341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 530 / 341 ti = "10/530/341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/530/341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 530 ÷ 210
    530 ÷ 1024     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 341 ÷ 210
    341 ÷ 1024     		y = 0.3330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3330078125 × 2 - 1) × π
    0.333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04924285888379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04924285888379))-π/2
    2×atan(2.85548829179156)-π/2
    2×1.23394084917019-π/2
    2.46788169834038-1.57079632675     		φ = 0.89708537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89708537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.399206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 530 KachelY 341 0.11044662 0.89708537 6.328125 51.399206
    Oben rechts KachelX + 1 531 KachelY 341 0.11658254 0.89708537 6.679688 51.399206
    Unten links KachelX 530 KachelY + 1 342 0.11044662 0.89324804 6.328125 51.179343
    Unten rechts KachelX + 1 531 KachelY + 1 342 0.11658254 0.89324804 6.679688 51.179343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89708537-0.89324804) × R
    0.00383732999999997 × 6371000     		dl = 24447.6294299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89708537-0.89324804) × R
    0.00383732999999997 × 6371000     		dr = 24447.6294299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11658254) × cos(0.89708537) × R
    0.00613592 × 0.62389043284113 × 6371000     		do = 24389.091310187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11658254) × cos(0.89324804) × R
    0.00613592 × 0.626884750821521 × 6371000     		du = 24506.1450279415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89708537)-sin(0.89324804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62389043284113-0.626884750821521)×R²
    abs(0.11658254-0.11044662)×0.00299431798039085×R²
    0.00613592×0.00299431798039085×6371000²
    0.00613592×0.00299431798039085×40589641000000     		ar = 597687042.860468m²