Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 535 / 339
↖ ↑ ↗
← N 51.835778°
E  8.085937°		 ← 24.156 km → N 51.835778°
E  8.437500°		 →
↑
24.214 km
↓
↑
24.214 km
↓
N 51.618016°
E  8.085937°		 ← 24.272 km →
586.316 km²		 N 51.618016°
E  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52294921875 y=0.33154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52294921875 × 210)
    floor (0.52294921875 × 1024)
    floor (535.5)     		tx = 535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33154296875 × 210)
    floor (0.33154296875 × 1024)
    floor (339.5)     		ty = 339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 535 / 339 ti = "10/535/339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/535/339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 535 ÷ 210
    535 ÷ 1024     		x = 0.5224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 339 ÷ 210
    339 ÷ 1024     		y = 0.3310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3310546875 × 2 - 1) × π
    0.337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06151470518652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14112623} λ = 0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06151470518652))-π/2
    2×atan(2.89074630319445)-π/2
    2×1.23775065741965-π/2
    2.47550131483931-1.57079632675     		φ = 0.90470499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90470499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.835778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 535 KachelY 339 0.14112623 0.90470499 8.085937 51.835778
    Oben rechts KachelX + 1 536 KachelY 339 0.14726216 0.90470499 8.437500 51.835778
    Unten links KachelX 535 KachelY + 1 340 0.14112623 0.90090434 8.085937 51.618016
    Unten rechts KachelX + 1 536 KachelY + 1 340 0.14726216 0.90090434 8.437500 51.618016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90470499-0.90090434) × R
    0.00380065000000007 × 6371000     		dl = 24213.9411500005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90470499-0.90090434) × R
    0.00380065000000007 × 6371000     		dr = 24213.9411500005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14112623-0.14726216) × cos(0.90470499) × R
    0.00613593000000001 × 0.617917556336133 × 6371000     		do = 24155.6393100053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14112623-0.14726216) × cos(0.90090434) × R
    0.00613593000000001 × 0.620901320323887 × 6371000     		du = 24272.2806417417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90470499)-sin(0.90090434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617917556336133-0.620901320323887)×R²
    abs(0.14726216-0.14112623)×0.00298376398775402×R²
    0.00613593000000001×0.00298376398775402×6371000²
    0.00613593000000001×0.00298376398775402×40589641000000     		ar = 586316107.639527m²