Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 543 / 353
↖ ↑ ↗
← N 48.690960°
E 10.898438°		 ← 25.805 km → N 48.690960°
E 11.250000°		 →
↑
25.865 km
↓
↑
25.865 km
↓
N 48.458352°
E 10.898438°		 ← 25.924 km →
668.992 km²		 N 48.458352°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53076171875 y=0.34521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53076171875 × 210)
    floor (0.53076171875 × 1024)
    floor (543.5)     		tx = 543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34521484375 × 210)
    floor (0.34521484375 × 1024)
    floor (353.5)     		ty = 353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 543 / 353 ti = "10/543/353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/543/353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 543 ÷ 210
    543 ÷ 1024     		x = 0.5302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 353 ÷ 210
    353 ÷ 1024     		y = 0.3447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5302734375 × 2 - 1) × π
    0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3447265625 × 2 - 1) × π
    0.310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.975611781067383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19021362} λ = 0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975611781067383))-π/2
    2×atan(2.65278964112417)-π/2
    2×1.21030695077814-π/2
    2.42061390155628-1.57079632675     		φ = 0.84981757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84981757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.690960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 543 KachelY 353 0.19021362 0.84981757 10.898438 48.690960
    Oben rechts KachelX + 1 544 KachelY 353 0.19634954 0.84981757 11.250000 48.690960
    Unten links KachelX 543 KachelY + 1 354 0.19021362 0.84575779 10.898438 48.458352
    Unten rechts KachelX + 1 544 KachelY + 1 354 0.19634954 0.84575779 11.250000 48.458352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84981757-0.84575779) × R
    0.00405978000000007 × 6371000     		dl = 25864.8583800004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84981757-0.84575779) × R
    0.00405978000000007 × 6371000     		dr = 25864.8583800004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19021362-0.19634954) × cos(0.84981757) × R
    0.00613591999999999 × 0.66012019098618 × 6371000     		do = 25805.3830707798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19021362-0.19634954) × cos(0.84575779) × R
    0.00613591999999999 × 0.663164286939641 × 6371000     		du = 25924.3827063855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84981757)-sin(0.84575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66012019098618-0.663164286939641)×R²
    abs(0.19634954-0.19021362)×0.00304409595346145×R²
    0.00613591999999999×0.00304409595346145×6371000²
    0.00613591999999999×0.00304409595346145×40589641000000     		ar = 668992451.779494m²