Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 544 / 351
↖ ↑ ↗
← N 49.152970°
E 11.250000°		 ← 25.568 km → N 49.152970°
E 11.601562°		 →
↑
25.627 km
↓
↑
25.627 km
↓
N 48.922499°
E 11.250000°		 ← 25.687 km →
656.752 km²		 N 48.922499°
E 11.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53173828125 y=0.34326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53173828125 × 210)
    floor (0.53173828125 × 1024)
    floor (544.5)     		tx = 544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34326171875 × 210)
    floor (0.34326171875 × 1024)
    floor (351.5)     		ty = 351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 544 / 351 ti = "10/544/351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/544/351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 544 ÷ 210
    544 ÷ 1024     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 351 ÷ 210
    351 ÷ 1024     		y = 0.3427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3427734375 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.987883627370117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987883627370117))-π/2
    2×atan(2.68554484018595)-π/2
    2×1.21433874220473-π/2
    2.42867748440947-1.57079632675     		φ = 0.85788116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85788116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.152970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 544 KachelY 351 0.19634954 0.85788116 11.250000 49.152970
    Oben rechts KachelX + 1 545 KachelY 351 0.20248546 0.85788116 11.601562 49.152970
    Unten links KachelX 544 KachelY + 1 352 0.19634954 0.85385869 11.250000 48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 545 KachelY + 1 352 0.20248546 0.85385869 11.601562 48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85788116-0.85385869) × R
    0.00402247 × 6371000     		dl = 25627.15637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85788116-0.85385869) × R
    0.00402247 × 6371000     		dr = 25627.15637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.20248546) × cos(0.85788116) × R
    0.00613592000000002 × 0.654041749545626 × 6371000     		do = 25567.7649642766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.20248546) × cos(0.85385869) × R
    0.00613592000000002 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 25686.5080001019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85788116)-sin(0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654041749545626-0.657079281492828)×R²
    abs(0.20248546-0.19634954)×0.00303753194720147×R²
    0.00613592000000002×0.00303753194720147×6371000²
    0.00613592000000002×0.00303753194720147×40589641000000     		ar = 656751519.479094m²