Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 548 / 356
↖ ↑ ↗
← N 47.989922°
E 12.656250°		 ← 26.163 km → N 47.989922°
E 13.007813°		 →
↑
26.222 km
↓
↑
26.222 km
↓
N 47.754098°
E 12.656250°		 ← 26.282 km →
687.616 km²		 N 47.754098°
E 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53564453125 y=0.34814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53564453125 × 210)
    floor (0.53564453125 × 1024)
    floor (548.5)     		tx = 548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34814453125 × 210)
    floor (0.34814453125 × 1024)
    floor (356.5)     		ty = 356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 548 / 356 ti = "10/548/356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/548/356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 548 ÷ 210
    548 ÷ 1024     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 356 ÷ 210
    356 ÷ 1024     		y = 0.34765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34765625 × 2 - 1) × π
    0.3046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.957204011613281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957204011613281))-π/2
    2×atan(2.60440439944139)-π/2
    2×1.20418923382357-π/2
    2.40837846764713-1.57079632675     		φ = 0.83758214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83758214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.989922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 548 KachelY 356 0.22089323 0.83758214 12.656250 47.989922
    Oben rechts KachelX + 1 549 KachelY 356 0.22702916 0.83758214 13.007813 47.989922
    Unten links KachelX 548 KachelY + 1 357 0.22089323 0.83346624 12.656250 47.754098
    Unten rechts KachelX + 1 549 KachelY + 1 357 0.22702916 0.83346624 13.007813 47.754098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83758214-0.83346624) × R
    0.00411589999999995 × 6371000     		dl = 26222.3988999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83758214-0.83346624) × R
    0.00411589999999995 × 6371000     		dr = 26222.3988999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.22702916) × cos(0.83758214) × R
    0.00613593000000001 × 0.669261315892548 × 6371000     		do = 26162.7700735625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.22702916) × cos(0.83346624) × R
    0.00613593000000001 × 0.672313863706238 × 6371000     		du = 26282.1003033124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83758214)-sin(0.83346624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669261315892548-0.672313863706238)×R²
    abs(0.22702916-0.22089323)×0.00305254781369024×R²
    0.00613593000000001×0.00305254781369024×6371000²
    0.00613593000000001×0.00305254781369024×40589641000000     		ar = 687616126.361888m²