Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 548 / 357
↖ ↑ ↗
← N 47.754098°
E 12.656250°		 ← 26.282 km → N 47.754098°
E 13.007813°		 →
↑
26.342 km
↓
↑
26.342 km
↓
N 47.517200°
E 12.656250°		 ← 26.402 km →
693.892 km²		 N 47.517200°
E 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53564453125 y=0.34912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53564453125 × 210)
    floor (0.53564453125 × 1024)
    floor (548.5)     		tx = 548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34912109375 × 210)
    floor (0.34912109375 × 1024)
    floor (357.5)     		ty = 357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 548 / 357 ti = "10/548/357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/548/357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 548 ÷ 210
    548 ÷ 1024     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 357 ÷ 210
    357 ÷ 1024     		y = 0.3486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3486328125 × 2 - 1) × π
    0.302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.951068088461914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951068088461914))-π/2
    2×atan(2.58847290139962)-π/2
    2×1.202131283921-π/2
    2.40426256784201-1.57079632675     		φ = 0.83346624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83346624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.754098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 548 KachelY 357 0.22089323 0.83346624 12.656250 47.754098
    Oben rechts KachelX + 1 549 KachelY 357 0.22702916 0.83346624 13.007813 47.754098
    Unten links KachelX 548 KachelY + 1 358 0.22089323 0.82933160 12.656250 47.517200
    Unten rechts KachelX + 1 549 KachelY + 1 358 0.22702916 0.82933160 13.007813 47.517200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83346624-0.82933160) × R
    0.00413464000000008 × 6371000     		dl = 26341.7914400005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83346624-0.82933160) × R
    0.00413464000000008 × 6371000     		dr = 26341.7914400005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.22702916) × cos(0.83346624) × R
    0.00613593000000001 × 0.672313863706238 × 6371000     		do = 26282.1003033124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.22702916) × cos(0.82933160) × R
    0.00613593000000001 × 0.675368842609735 × 6371000     		du = 26401.5255692493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83346624)-sin(0.82933160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672313863706238-0.675368842609735)×R²
    abs(0.22702916-0.22089323)×0.00305497890349726×R²
    0.00613593000000001×0.00305497890349726×6371000²
    0.00613593000000001×0.00305497890349726×40589641000000     		ar = 693891531.039931m²