Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 560 / 304
↖ ↑ ↗
← N 58.813742°
E 16.875000°		 ← 20.243 km → N 58.813742°
E 17.226562°		 →
↑
20.296 km
↓
↑
20.296 km
↓
N 58.631216°
E 16.875000°		 ← 20.349 km →
411.924 km²		 N 58.631216°
E 17.226562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54736328125 y=0.29736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54736328125 × 210)
    floor (0.54736328125 × 1024)
    floor (560.5)     		tx = 560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29736328125 × 210)
    floor (0.29736328125 × 1024)
    floor (304.5)     		ty = 304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 560 / 304 ti = "10/560/304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/560/304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 560 ÷ 210
    560 ÷ 1024     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 304 ÷ 210
    304 ÷ 1024     		y = 0.296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296875 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27627201548437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27627201548437))-π/2
    2×atan(3.58325647014846)-π/2
    2×1.29864488256632-π/2
    2.59728976513265-1.57079632675     		φ = 1.02649344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02649344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.813742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 560 KachelY 304 0.29452431 1.02649344 16.875000 58.813742
    Oben rechts KachelX + 1 561 KachelY 304 0.30066023 1.02649344 17.226562 58.813742
    Unten links KachelX 560 KachelY + 1 305 0.29452431 1.02330777 16.875000 58.631216
    Unten rechts KachelX + 1 561 KachelY + 1 305 0.30066023 1.02330777 17.226562 58.631216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02649344-1.02330777) × R
    0.00318567000000014 × 6371000     		dl = 20295.9035700009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02649344-1.02330777) × R
    0.00318567000000014 × 6371000     		dr = 20295.9035700009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.30066023) × cos(1.02649344) × R
    0.00613591999999996 × 0.517821844059361 × 6371000     		do = 20242.6637312918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.30066023) × cos(1.02330777) × R
    0.00613591999999996 × 0.520544515879301 × 6371000     		du = 20349.0982719239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02649344)-sin(1.02330777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517821844059361-0.520544515879301)×R²
    abs(0.30066023-0.29452431)×0.00272267181993957×R²
    0.00613591999999996×0.00272267181993957×6371000²
    0.00613591999999996×0.00272267181993957×40589641000000     		ar = 411923592.043891m²