Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 561 / 303
↖ ↑ ↗
← N 58.995311°
E 17.226562°		 ← 20.137 km → N 58.995311°
E 17.578125°		 →
↑
20.190 km
↓
↑
20.190 km
↓
N 58.813742°
E 17.226562°		 ← 20.243 km →
407.621 km²		 N 58.813742°
E 17.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54833984375 y=0.29638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54833984375 × 210)
    floor (0.54833984375 × 1024)
    floor (561.5)     		tx = 561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29638671875 × 210)
    floor (0.29638671875 × 1024)
    floor (303.5)     		ty = 303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 561 / 303 ti = "10/561/303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/561/303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 561 ÷ 210
    561 ÷ 1024     		x = 0.5478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 303 ÷ 210
    303 ÷ 1024     		y = 0.2958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5478515625 × 2 - 1) × π
    0.095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30066023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2958984375 × 2 - 1) × π
    0.408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28240793863574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30066023} λ = 0.30066023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28240793863574))-π/2
    2×atan(3.60531064865906)-π/2
    2×1.3002293751222-π/2
    2.60045875024441-1.57079632675     		φ = 1.02966242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30066023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02966242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.995311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 561 KachelY 303 0.30066023 1.02966242 17.226562 58.995311
    Oben rechts KachelX + 1 562 KachelY 303 0.30679616 1.02966242 17.578125 58.995311
    Unten links KachelX 561 KachelY + 1 304 0.30066023 1.02649344 17.226562 58.813742
    Unten rechts KachelX + 1 562 KachelY + 1 304 0.30679616 1.02649344 17.578125 58.813742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02966242-1.02649344) × R
    0.00316897999999988 × 6371000     		dl = 20189.5715799992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02966242-1.02649344) × R
    0.00316897999999988 × 6371000     		dr = 20189.5715799992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30066023-0.30679616) × cos(1.02966242) × R
    0.00613593000000001 × 0.515108222622785 × 6371000     		do = 20136.6158053054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30066023-0.30679616) × cos(1.02649344) × R
    0.00613593000000001 × 0.517821844059361 × 6371000     		du = 20242.6967217217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02966242)-sin(1.02649344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515108222622785-0.517821844059361)×R²
    abs(0.30679616-0.30066023)×0.00271362143657616×R²
    0.00613593000000001×0.00271362143657616×6371000²
    0.00613593000000001×0.00271362143657616×40589641000000     		ar = 407620851.433305m²