Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 607 / 287
↖ ↑ ↗
← N 61.773123°
E 33.398438°		 ← 18.489 km → N 61.773123°
E 33.750000°		 →
↑
18.539 km
↓
↑
18.539 km
↓
N 61.606397°
E 33.398438°		 ← 18.589 km →
343.700 km²		 N 61.606397°
E 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59326171875 y=0.28076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59326171875 × 210)
    floor (0.59326171875 × 1024)
    floor (607.5)     		tx = 607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28076171875 × 210)
    floor (0.28076171875 × 1024)
    floor (287.5)     		ty = 287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 607 / 287 ti = "10/607/287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/607/287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 607 ÷ 210
    607 ÷ 1024     		x = 0.5927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 287 ÷ 210
    287 ÷ 1024     		y = 0.2802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5927734375 × 2 - 1) × π
    0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2802734375 × 2 - 1) × π
    0.439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.38058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58291270} λ = 0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38058270905762))-π/2
    2×atan(3.97721851364594)-π/2
    2×1.32447035500065-π/2
    2.6489407100013-1.57079632675     		φ = 1.07814438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07814438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.773123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 607 KachelY 287 0.58291270 1.07814438 33.398438 61.773123
    Oben rechts KachelX + 1 608 KachelY 287 0.58904862 1.07814438 33.750000 61.773123
    Unten links KachelX 607 KachelY + 1 288 0.58291270 1.07523446 33.398438 61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 608 KachelY + 1 288 0.58904862 1.07523446 33.750000 61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07814438-1.07523446) × R
    0.00290992000000001 × 6371000     		dl = 18539.1003200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07814438-1.07523446) × R
    0.00290992000000001 × 6371000     		dr = 18539.1003200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58291270-0.58904862) × cos(1.07814438) × R
    0.00613592000000007 × 0.472964130311865 × 6371000     		do = 18489.0883934371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58291270-0.58904862) × cos(1.07523446) × R
    0.00613592000000007 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 18589.2369228838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07814438)-sin(1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472964130311865-0.475526001461152)×R²
    abs(0.58904862-0.58291270)×0.0025618711492868×R²
    0.00613592000000007×0.0025618711492868×6371000²
    0.00613592000000007×0.0025618711492868×40589641000000     		ar = 343699638.895352m²