Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61444 / 53252
↖ ↑ ↗
← N 31.942840°
W 11.239013°		 ← 259.12 m → N 31.942840°
W 11.236267°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
N 31.940509°
W 11.239013°		 ← 259.13 m →
67 158 m²		 N 31.940509°
W 11.236267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468784332275391 y=0.406284332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468784332275391 × 217)
    floor (0.468784332275391 × 131072)
    floor (61444.5)     		tx = 61444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406284332275391 × 217)
    floor (0.406284332275391 × 131072)
    floor (53252.5)     		ty = 53252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61444 / 53252 ti = "17/61444/53252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61444/53252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61444 ÷ 217
    61444 ÷ 131072     		x = 0.468780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53252 ÷ 217
    53252 ÷ 131072     		y = 0.406280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.06243896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19615779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406280517578125 × 2 - 1) × π
    0.18743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.58885687493277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19615779} λ = -0.19615779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58885687493277))-π/2
    2×atan(1.80192740923756)-π/2
    2×1.06415202837228-π/2
    2.12830405674456-1.57079632675     		φ = 0.55750773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19615779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.239013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55750773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.942840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61444 KachelY 53252 -0.19615779 0.55750773 -11.239013 31.942840
    Oben rechts KachelX + 1 61445 KachelY 53252 -0.19610986 0.55750773 -11.236267 31.942840
    Unten links KachelX 61444 KachelY + 1 53253 -0.19615779 0.55746705 -11.239013 31.940509
    Unten rechts KachelX + 1 61445 KachelY + 1 53253 -0.19610986 0.55746705 -11.236267 31.940509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55750773-0.55746705) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dl = 259.172280000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55750773-0.55746705) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dr = 259.172280000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19615779--0.19610986) × cos(0.55750773) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.848576337745435 × 6371000     		do = 259.12299310392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19615779--0.19610986) × cos(0.55746705) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.848597859731381 × 6371000     		du = 259.129565101238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55750773)-sin(0.55746705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848576337745435-0.848597859731381)×R²
    abs(-0.19610986--0.19615779)×2.15219859458493e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15219859458493e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15219859458493e-05×40589641000000     		ar = 67158.348572166m²