Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 63492 / 47108
↖ ↑ ↗
← N 45.081278°
W  5.614014°		 ← 215.62 m → N 45.081278°
W  5.611267°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
N 45.079339°
W  5.614014°		 ← 215.62 m →
46 500 m²		 N 45.079339°
W  5.611267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484409332275391 y=0.359409332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484409332275391 × 217)
    floor (0.484409332275391 × 131072)
    floor (63492.5)     		tx = 63492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359409332275391 × 217)
    floor (0.359409332275391 × 131072)
    floor (47108.5)     		ty = 47108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63492 / 47108 ti = "17/63492/47108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63492/47108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63492 ÷ 217
    63492 ÷ 131072     		x = 0.484405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47108 ÷ 217
    47108 ÷ 131072     		y = 0.359405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.03118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09798302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359405517578125 × 2 - 1) × π
    0.28118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.883381186198395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09798302} λ = -0.09798302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883381186198395))-π/2
    2×atan(2.41906520398482)-π/2
    2×1.17880653478634-π/2
    2.35761306957268-1.57079632675     		φ = 0.78681674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09798302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.614014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78681674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.081278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63492 KachelY 47108 -0.09798302 0.78681674 -5.614014 45.081278
    Oben rechts KachelX + 1 63493 KachelY 47108 -0.09793509 0.78681674 -5.611267 45.081278
    Unten links KachelX 63492 KachelY + 1 47109 -0.09798302 0.78678289 -5.614014 45.079339
    Unten rechts KachelX + 1 63493 KachelY + 1 47109 -0.09793509 0.78678289 -5.611267 45.079339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78681674-0.78678289) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dl = 215.658350000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78681674-0.78678289) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dr = 215.658350000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09798302--0.09793509) × cos(0.78681674) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.706102984911246 × 6371000     		do = 215.617040861565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09798302--0.09793509) × cos(0.78678289) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.706126954001587 × 6371000     		du = 215.624360111648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78681674)-sin(0.78678289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706102984911246-0.706126954001587)×R²
    abs(-0.09793509--0.09798302)×2.39690903411915e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39690903411915e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39690903411915e-05×40589641000000     		ar = 46500.4044973046m²