Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63520 / 43040
↖ ↑ ↗
← N 52.429222°
W  5.537109°		 ← 186.23 m → N 52.429222°
W  5.534363°		 →
↑
186.22 m
↓
↑
186.22 m
↓
N 52.427547°
W  5.537109°		 ← 186.24 m →
34 681 m²		 N 52.427547°
W  5.534363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484622955322266 y=0.328372955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484622955322266 × 217)
    floor (0.484622955322266 × 131072)
    floor (63520.5)     		tx = 63520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328372955322266 × 217)
    floor (0.328372955322266 × 131072)
    floor (43040.5)     		ty = 43040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63520 / 43040 ti = "17/63520/43040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63520/43040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63520 ÷ 217
    63520 ÷ 131072     		x = 0.484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43040 ÷ 217
    43040 ÷ 131072     		y = 0.328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328369140625 × 2 - 1) × π
    0.34326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07838849385278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09664079} λ = -0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07838849385278))-π/2
    2×atan(2.93993800341013)-π/2
    2×1.24292943989319-π/2
    2.48585887978638-1.57079632675     		φ = 0.91506255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91506255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.429222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63520 KachelY 43040 -0.09664079 0.91506255 -5.537109 52.429222
    Oben rechts KachelX + 1 63521 KachelY 43040 -0.09659285 0.91506255 -5.534363 52.429222
    Unten links KachelX 63520 KachelY + 1 43041 -0.09664079 0.91503332 -5.537109 52.427547
    Unten rechts KachelX + 1 63521 KachelY + 1 43041 -0.09659285 0.91503332 -5.534363 52.427547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91506255-0.91503332) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dl = 186.224329999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91506255-0.91503332) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dr = 186.224329999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09664079--0.09659285) × cos(0.91506255) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.60974099944977 × 6371000     		do = 186.230595965325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09664079--0.09659285) × cos(0.91503332) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.609764166908559 × 6371000     		du = 186.23767190357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91506255)-sin(0.91503332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60974099944977-0.609764166908559)×R²
    abs(-0.09659285--0.09664079)×2.31674587888309e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.31674587888309e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.31674587888309e-05×40589641000000     		ar = 34681.3268174953m²