Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63520 / 47136
↖ ↑ ↗
← N 45.026951°
W  5.537109°		 ← 215.87 m → N 45.026951°
W  5.534363°		 →
↑
215.85 m
↓
↑
215.85 m
↓
N 45.025009°
W  5.537109°		 ← 215.87 m →
46 596 m²		 N 45.025009°
W  5.534363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484622955322266 y=0.359622955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484622955322266 × 217)
    floor (0.484622955322266 × 131072)
    floor (63520.5)     		tx = 63520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359622955322266 × 217)
    floor (0.359622955322266 × 131072)
    floor (47136.5)     		ty = 47136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63520 / 47136 ti = "17/63520/47136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63520/47136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63520 ÷ 217
    63520 ÷ 131072     		x = 0.484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47136 ÷ 217
    47136 ÷ 131072     		y = 0.359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359619140625 × 2 - 1) × π
    0.28076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.882038953009033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09664079} λ = -0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882038953009033))-π/2
    2×atan(2.41582043248794)-π/2
    2×1.17833243215876-π/2
    2.35666486431752-1.57079632675     		φ = 0.78586854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78586854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.026951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63520 KachelY 47136 -0.09664079 0.78586854 -5.537109 45.026951
    Oben rechts KachelX + 1 63521 KachelY 47136 -0.09659285 0.78586854 -5.534363 45.026951
    Unten links KachelX 63520 KachelY + 1 47137 -0.09664079 0.78583466 -5.537109 45.025009
    Unten rechts KachelX + 1 63521 KachelY + 1 47137 -0.09659285 0.78583466 -5.534363 45.025009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78586854-0.78583466) × R
    3.38799999999306e-05 × 6371000     		dl = 215.849479999558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78586854-0.78583466) × R
    3.38799999999306e-05 × 6371000     		dr = 215.849479999558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09664079--0.09659285) × cos(0.78586854) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.706774096488284 × 6371000     		do = 215.867001432811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09664079--0.09659285) × cos(0.78583466) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.706798064126446 × 6371000     		du = 215.874321766433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78586854)-sin(0.78583466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706774096488284-0.706798064126446)×R²
    abs(-0.09659285--0.09664079)×2.39676381621479e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39676381621479e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39676381621479e-05×40589641000000     		ar = 46595.5700579198m²