Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63616 / 47232
↖ ↑ ↗
← N 44.840291°
W  5.273438°		 ← 216.57 m → N 44.840291°
W  5.270691°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
N 44.838343°
W  5.273438°		 ← 216.58 m →
46 899 m²		 N 44.838343°
W  5.270691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485355377197266 y=0.360355377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485355377197266 × 217)
    floor (0.485355377197266 × 131072)
    floor (63616.5)     		tx = 63616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360355377197266 × 217)
    floor (0.360355377197266 × 131072)
    floor (47232.5)     		ty = 47232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63616 / 47232 ti = "17/63616/47232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63616/47232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63616 ÷ 217
    63616 ÷ 131072     		x = 0.4853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47232 ÷ 217
    47232 ÷ 131072     		y = 0.3603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4853515625 × 2 - 1) × π
    -0.029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09203885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3603515625 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.877437010645508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09203885} λ = -0.09203885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877437010645508))-π/2
    2×atan(2.40472850787118)-π/2
    2×1.17670351809762-π/2
    2.35340703619524-1.57079632675     		φ = 0.78261071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09203885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.273438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78261071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.840291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63616 KachelY 47232 -0.09203885 0.78261071 -5.273438 44.840291
    Oben rechts KachelX + 1 63617 KachelY 47232 -0.09199091 0.78261071 -5.270691 44.840291
    Unten links KachelX 63616 KachelY + 1 47233 -0.09203885 0.78257672 -5.273438 44.838343
    Unten rechts KachelX + 1 63617 KachelY + 1 47233 -0.09199091 0.78257672 -5.270691 44.838343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78261071-0.78257672) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dl = 216.55029000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78261071-0.78257672) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dr = 216.55029000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09203885--0.09199091) × cos(0.78261071) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.709075058762226 × 6371000     		do = 216.569774538042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09203885--0.09199091) × cos(0.78257672) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.709099025823609 × 6371000     		du = 216.577094695501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78261071)-sin(0.78257672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709075058762226-0.709099025823609)×R²
    abs(-0.09199091--0.09203885)×2.39670613828569e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39670613828569e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39670613828569e-05×40589641000000     		ar = 46899.040077013m²