Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64000 / 39424
↖ ↑ ↗
← N 58.077876°
W  4.218750°		 ← 161.50 m → N 58.077876°
W  4.216003°		 →
↑
161.44 m
↓
↑
161.44 m
↓
N 58.076424°
W  4.218750°		 ← 161.51 m →
26 073 m²		 N 58.076424°
W  4.216003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488285064697266 y=0.300785064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488285064697266 × 217)
    floor (0.488285064697266 × 131072)
    floor (64000.5)     		tx = 64000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300785064697266 × 217)
    floor (0.300785064697266 × 131072)
    floor (39424.5)     		ty = 39424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64000 / 39424 ti = "17/64000/39424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64000/39424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64000 ÷ 217
    64000 ÷ 131072     		x = 0.48828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39424 ÷ 217
    39424 ÷ 131072     		y = 0.30078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48828125 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30078125 × 2 - 1) × π
    0.3984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25172832287891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07363108} λ = -0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25172832287891))-π/2
    2×atan(3.49638061305668)-π/2
    2×1.29222324510814-π/2
    2.58444649021628-1.57079632675     		φ = 1.01365016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01365016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.077876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64000 KachelY 39424 -0.07363108 1.01365016 -4.218750 58.077876
    Oben rechts KachelX + 1 64001 KachelY 39424 -0.07358314 1.01365016 -4.216003 58.077876
    Unten links KachelX 64000 KachelY + 1 39425 -0.07363108 1.01362482 -4.218750 58.076424
    Unten rechts KachelX + 1 64001 KachelY + 1 39425 -0.07358314 1.01362482 -4.216003 58.076424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01365016-1.01362482) × R
    2.53400000000958e-05 × 6371000     		dl = 161.441140000611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01365016-1.01362482) × R
    2.53400000000958e-05 × 6371000     		dr = 161.441140000611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07363108--0.07358314) × cos(1.01365016) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528766113348559 × 6371000     		do = 161.498781456395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07363108--0.07358314) × cos(1.01362482) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528787620949158 × 6371000     		du = 161.505350431224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01365016)-sin(1.01362482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528766113348559-0.528787620949158)×R²
    abs(-0.07358314--0.07363108)×2.15076005987136e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15076005987136e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15076005987136e-05×40589641000000     		ar = 26073.0776398474m²