Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67840 / 43777
↖ ↑ ↗
← N 51.177621°
E  6.328125°		 ← 191.43 m → N 51.177621°
E  6.330871°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
N 51.175899°
E  6.328125°		 ← 191.44 m →
36 650 m²		 N 51.175899°
E  6.330871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517581939697266 y=0.333995819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517581939697266 × 217)
    floor (0.517581939697266 × 131072)
    floor (67840.5)     		tx = 67840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333995819091797 × 217)
    floor (0.333995819091797 × 131072)
    floor (43777.5)     		ty = 43777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67840 / 43777 ti = "17/67840/43777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67840/43777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67840 ÷ 217
    67840 ÷ 131072     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43777 ÷ 217
    43777 ÷ 131072     		y = 0.333992004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333992004394531 × 2 - 1) × π
    0.332015991210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.0430589988328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0430589988328))-π/2
    2×atan(2.83788483656615)-π/2
    2×1.23200715964992-π/2
    2.46401431929985-1.57079632675     		φ = 0.89321799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89321799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.177621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67840 KachelY 43777 0.11044662 0.89321799 6.328125 51.177621
    Oben rechts KachelX + 1 67841 KachelY 43777 0.11049455 0.89321799 6.330871 51.177621
    Unten links KachelX 67840 KachelY + 1 43778 0.11044662 0.89318794 6.328125 51.175899
    Unten rechts KachelX + 1 67841 KachelY + 1 43778 0.11049455 0.89318794 6.330871 51.175899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89321799-0.89318794) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89321799-0.89318794) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11049455) × cos(0.89321799) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.62690816285409 × 6371000     		do = 191.433949232702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11049455) × cos(0.89318794) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.62693157432056 × 6371000     		du = 191.441098205628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89321799)-sin(0.89318794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62690816285409-0.62693157432056)×R²
    abs(0.11049455-0.11044662)×2.34114664700025e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34114664700025e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34114664700025e-05×40589641000000     		ar = 36650.4363343639m²