Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67905 / 43969
↖ ↑ ↗
← N 50.845839°
E  6.506653°		 ← 192.81 m → N 50.845839°
E  6.509399°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
N 50.844105°
E  6.506653°		 ← 192.82 m →
37 184 m²		 N 50.844105°
E  6.509399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518077850341797 y=0.335460662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518077850341797 × 217)
    floor (0.518077850341797 × 131072)
    floor (67905.5)     		tx = 67905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335460662841797 × 217)
    floor (0.335460662841797 × 131072)
    floor (43969.5)     		ty = 43969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67905 / 43969 ti = "17/67905/43969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67905/43969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67905 ÷ 217
    67905 ÷ 131072     		x = 0.518074035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43969 ÷ 217
    43969 ÷ 131072     		y = 0.335456848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518074035644531 × 2 - 1) × π
    0.0361480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11356252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335456848144531 × 2 - 1) × π
    0.329086303710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.03385511410575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11356252} λ = 0.11356252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03385511410575))-π/2
    2×atan(2.81188510446974)-π/2
    2×1.22911181211634-π/2
    2.45822362423268-1.57079632675     		φ = 0.88742730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11356252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.506653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88742730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.845839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67905 KachelY 43969 0.11356252 0.88742730 6.506653 50.845839
    Oben rechts KachelX + 1 67906 KachelY 43969 0.11361045 0.88742730 6.509399 50.845839
    Unten links KachelX 67905 KachelY + 1 43970 0.11356252 0.88739703 6.506653 50.844105
    Unten rechts KachelX + 1 67906 KachelY + 1 43970 0.11361045 0.88739703 6.509399 50.844105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88742730-0.88739703) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88742730-0.88739703) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11356252-0.11361045) × cos(0.88742730) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.631409113882828 × 6371000     		do = 192.808368775768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11356252-0.11361045) × cos(0.88739703) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.631432586461704 × 6371000     		du = 192.815536410103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88742730)-sin(0.88739703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631409113882828-0.631432586461704)×R²
    abs(0.11361045-0.11356252)×2.3472578875805e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3472578875805e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3472578875805e-05×40589641000000     		ar = 37183.8178386069m²