Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67908 / 43972
↖ ↑ ↗
← N 50.840636°
E  6.514893°		 ← 192.83 m → N 50.840636°
E  6.517639°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
N 50.838902°
E  6.514893°		 ← 192.84 m →
37 188 m²		 N 50.838902°
E  6.517639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518100738525391 y=0.335483551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518100738525391 × 217)
    floor (0.518100738525391 × 131072)
    floor (67908.5)     		tx = 67908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335483551025391 × 217)
    floor (0.335483551025391 × 131072)
    floor (43972.5)     		ty = 43972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67908 / 43972 ti = "17/67908/43972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67908/43972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67908 ÷ 217
    67908 ÷ 131072     		x = 0.518096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43972 ÷ 217
    43972 ÷ 131072     		y = 0.335479736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518096923828125 × 2 - 1) × π
    0.03619384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11370633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335479736328125 × 2 - 1) × π
    0.32904052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03371130340689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11370633} λ = 0.11370633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03371130340689))-π/2
    2×atan(2.81148075438339)-π/2
    2×1.22906640789164-π/2
    2.45813281578329-1.57079632675     		φ = 0.88733649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11370633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.514893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88733649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.840636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67908 KachelY 43972 0.11370633 0.88733649 6.514893 50.840636
    Oben rechts KachelX + 1 67909 KachelY 43972 0.11375426 0.88733649 6.517639 50.840636
    Unten links KachelX 67908 KachelY + 1 43973 0.11370633 0.88730622 6.514893 50.838902
    Unten rechts KachelX + 1 67909 KachelY + 1 43973 0.11375426 0.88730622 6.517639 50.838902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88733649-0.88730622) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88733649-0.88730622) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11370633-0.11375426) × cos(0.88733649) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.63147952988374 × 6371000     		do = 192.829871148751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11370633-0.11375426) × cos(0.88730622) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.631503000726858 × 6371000     		du = 192.837038253051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88733649)-sin(0.88730622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63147952988374-0.631503000726858)×R²
    abs(0.11375426-0.11370633)×2.34708431176012e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34708431176012e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34708431176012e-05×40589641000000     		ar = 37187.964523641m²