Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67936 / 44000
↖ ↑ ↗
← N 50.792047°
E  6.591797°		 ← 193.07 m → N 50.792047°
E  6.594544°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
N 50.790311°
E  6.591797°		 ← 193.08 m →
37 284 m²		 N 50.790311°
E  6.594544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518314361572266 y=0.335697174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518314361572266 × 217)
    floor (0.518314361572266 × 131072)
    floor (67936.5)     		tx = 67936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335697174072266 × 217)
    floor (0.335697174072266 × 131072)
    floor (44000.5)     		ty = 44000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67936 / 44000 ti = "17/67936/44000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67936/44000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67936 ÷ 217
    67936 ÷ 131072     		x = 0.518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44000 ÷ 217
    44000 ÷ 131072     		y = 0.335693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518310546875 × 2 - 1) × π
    0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335693359375 × 2 - 1) × π
    0.32861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03236907021753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11504856} λ = 0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03236907021753))-π/2
    2×atan(2.8077096230386)-π/2
    2×1.22864239093903-π/2
    2.45728478187806-1.57079632675     		φ = 0.88648846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88648846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.792047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67936 KachelY 44000 0.11504856 0.88648846 6.591797 50.792047
    Oben rechts KachelX + 1 67937 KachelY 44000 0.11509650 0.88648846 6.594544 50.792047
    Unten links KachelX 67936 KachelY + 1 44001 0.11504856 0.88645815 6.591797 50.790311
    Unten rechts KachelX + 1 67937 KachelY + 1 44001 0.11509650 0.88645815 6.594544 50.790311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88648846-0.88645815) × R
    3.03100000000889e-05 × 6371000     		dl = 193.105010000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88648846-0.88645815) × R
    3.03100000000889e-05 × 6371000     		dr = 193.105010000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11504856-0.11509650) × cos(0.88648846) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.632136858881542 × 6371000     		do = 193.070867905212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11504856-0.11509650) × cos(0.88645815) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.632160344499429 × 6371000     		du = 193.078041017434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88648846)-sin(0.88645815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632136858881542-0.632160344499429)×R²
    abs(0.11509650-0.11504856)×2.3485617886787e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.3485617886787e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.3485617886787e-05×40589641000000     		ar = 37283.6444624552m²