Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67968 / 43776
↖ ↑ ↗
← N 51.179343°
E  6.679688°		 ← 191.47 m → N 51.179343°
E  6.682434°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
N 51.177621°
E  6.679688°		 ← 191.47 m →
36 657 m²		 N 51.177621°
E  6.682434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518558502197266 y=0.333988189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518558502197266 × 217)
    floor (0.518558502197266 × 131072)
    floor (67968.5)     		tx = 67968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333988189697266 × 217)
    floor (0.333988189697266 × 131072)
    floor (43776.5)     		ty = 43776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67968 / 43776 ti = "17/67968/43776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67968/43776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67968 ÷ 217
    67968 ÷ 131072     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43776 ÷ 217
    43776 ÷ 131072     		y = 0.333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333984375 × 2 - 1) × π
    0.33203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04310693573242))-π/2
    2×atan(2.8380208792274)-π/2
    2×1.23202218538612-π/2
    2.46404437077225-1.57079632675     		φ = 0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.179343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67968 KachelY 43776 0.11658254 0.89324804 6.679688 51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 67969 KachelY 43776 0.11663048 0.89324804 6.682434 51.179343
    Unten links KachelX 67968 KachelY + 1 43777 0.11658254 0.89321799 6.679688 51.177621
    Unten rechts KachelX + 1 67969 KachelY + 1 43777 0.11663048 0.89321799 6.682434 51.177621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89324804-0.89321799) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89324804-0.89321799) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11663048) × cos(0.89324804) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.626884750821521 × 6371000     		do = 191.466738914364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11663048) × cos(0.89321799) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.62690816285409 × 6371000     		du = 191.473889551736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89324804)-sin(0.89321799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626884750821521-0.62690816285409)×R²
    abs(0.11663048-0.11658254)×2.34120325696141e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34120325696141e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34120325696141e-05×40589641000000     		ar = 36656.7140305933m²