Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67970 / 43778
↖ ↑ ↗
← N 51.175899°
E  6.685180°		 ← 191.48 m → N 51.175899°
E  6.687927°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
N 51.174178°
E  6.685180°		 ← 191.49 m →
36 659 m²		 N 51.174178°
E  6.687927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518573760986328 y=0.334003448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518573760986328 × 217)
    floor (0.518573760986328 × 131072)
    floor (67970.5)     		tx = 67970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334003448486328 × 217)
    floor (0.334003448486328 × 131072)
    floor (43778.5)     		ty = 43778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67970 / 43778 ti = "17/67970/43778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67970/43778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67970 ÷ 217
    67970 ÷ 131072     		x = 0.518569946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43778 ÷ 217
    43778 ÷ 131072     		y = 0.333999633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518569946289062 × 2 - 1) × π
    0.037139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11667841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333999633789062 × 2 - 1) × π
    0.332000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04301106193318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11667841} λ = 0.11667841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04301106193318))-π/2
    2×atan(2.8377488004262)-π/2
    2×1.23199213335254-π/2
    2.46398426670508-1.57079632675     		φ = 0.89318794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11667841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.685180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89318794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.175899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67970 KachelY 43778 0.11667841 0.89318794 6.685180 51.175899
    Oben rechts KachelX + 1 67971 KachelY 43778 0.11672635 0.89318794 6.687927 51.175899
    Unten links KachelX 67970 KachelY + 1 43779 0.11667841 0.89315789 6.685180 51.174178
    Unten rechts KachelX + 1 67971 KachelY + 1 43779 0.11672635 0.89315789 6.687927 51.174178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89318794-0.89315789) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89318794-0.89315789) × R
    3.00500000000037e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11667841-0.11672635) × cos(0.89318794) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.62693157432056 × 6371000     		do = 191.481040016263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11667841-0.11672635) × cos(0.89315789) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.626954985220909 × 6371000     		du = 191.488190307826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89318794)-sin(0.89315789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62693157432056-0.626954985220909)×R²
    abs(0.11672635-0.11667841)×2.34109003491856e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.34109003491856e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.34109003491856e-05×40589641000000     		ar = 36659.4519229783m²