Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67972 / 43764
↖ ↑ ↗
← N 51.200000°
E  6.690674°		 ← 191.34 m → N 51.200000°
E  6.693420°		 →
↑
191.32 m
↓
↑
191.32 m
↓
N 51.198279°
E  6.690674°		 ← 191.35 m →
36 608 m²		 N 51.198279°
E  6.693420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518589019775391 y=0.333896636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518589019775391 × 217)
    floor (0.518589019775391 × 131072)
    floor (67972.5)     		tx = 67972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333896636962891 × 217)
    floor (0.333896636962891 × 131072)
    floor (43764.5)     		ty = 43764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67972 / 43764 ti = "17/67972/43764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67972/43764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67972 ÷ 217
    67972 ÷ 131072     		x = 0.518585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43764 ÷ 217
    43764 ÷ 131072     		y = 0.333892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518585205078125 × 2 - 1) × π
    0.03717041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11677429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333892822265625 × 2 - 1) × π
    0.33221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04368217852786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11677429} λ = 0.11677429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04368217852786))-π/2
    2×atan(2.83965389993815)-π/2
    2×1.23220245045108-π/2
    2.46440490090216-1.57079632675     		φ = 0.89360857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11677429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.690674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89360857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.200000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67972 KachelY 43764 0.11677429 0.89360857 6.690674 51.200000
    Oben rechts KachelX + 1 67973 KachelY 43764 0.11682222 0.89360857 6.693420 51.200000
    Unten links KachelX 67972 KachelY + 1 43765 0.11677429 0.89357854 6.690674 51.198279
    Unten rechts KachelX + 1 67973 KachelY + 1 43765 0.11682222 0.89357854 6.693420 51.198279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89360857-0.89357854) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dl = 191.321130000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89360857-0.89357854) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dr = 191.321130000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11677429-0.11682222) × cos(0.89360857) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.626603816836268 × 6371000     		do = 191.341013514877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11677429-0.11682222) × cos(0.89357854) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.626627220072683 × 6371000     		du = 191.348159974658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89360857)-sin(0.89357854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626603816836268-0.626627220072683)×R²
    abs(0.11682222-0.11677429)×2.34032364153647e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34032364153647e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34032364153647e-05×40589641000000     		ar = 36608.2625582227m²