Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67984 / 43856
↖ ↑ ↗
← N 51.041394°
E  6.723633°		 ← 192.04 m → N 51.041394°
E  6.726380°		 →
↑
192.02 m
↓
↑
192.02 m
↓
N 51.039667°
E  6.723633°		 ← 192.05 m →
36 876 m²		 N 51.039667°
E  6.726380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518680572509766 y=0.334598541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518680572509766 × 217)
    floor (0.518680572509766 × 131072)
    floor (67984.5)     		tx = 67984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334598541259766 × 217)
    floor (0.334598541259766 × 131072)
    floor (43856.5)     		ty = 43856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67984 / 43856 ti = "17/67984/43856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67984/43856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67984 ÷ 217
    67984 ÷ 131072     		x = 0.5186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43856 ÷ 217
    43856 ÷ 131072     		y = 0.3345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5186767578125 × 2 - 1) × π
    0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3345947265625 × 2 - 1) × π
    0.330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03927198376282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11734953} λ = 0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03927198376282))-π/2
    2×atan(2.82715804799801)-π/2
    2×1.23081835255293-π/2
    2.46163670510587-1.57079632675     		φ = 0.89084038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89084038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.041394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67984 KachelY 43856 0.11734953 0.89084038 6.723633 51.041394
    Oben rechts KachelX + 1 67985 KachelY 43856 0.11739747 0.89084038 6.726380 51.041394
    Unten links KachelX 67984 KachelY + 1 43857 0.11734953 0.89081024 6.723633 51.039667
    Unten rechts KachelX + 1 67985 KachelY + 1 43857 0.11739747 0.89081024 6.726380 51.039667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89084038-0.89081024) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dl = 192.021940000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89084038-0.89081024) × R
    3.01400000000118e-05 × 6371000     		dr = 192.021940000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11734953-0.11739747) × cos(0.89084038) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.628758768837873 × 6371000     		do = 192.039112253837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11734953-0.11739747) × cos(0.89081024) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.62878220542889 × 6371000     		du = 192.046270391992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89084038)-sin(0.89081024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628758768837873-0.62878220542889)×R²
    abs(0.11739747-0.11734953)×2.34365910170009e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.34365910170009e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.34365910170009e-05×40589641000000     		ar = 36876.4101534204m²