Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68004 / 43748
↖ ↑ ↗
← N 51.227528°
E  6.778565°		 ← 191.27 m → N 51.227528°
E  6.781311°		 →
↑
191.26 m
↓
↑
191.26 m
↓
N 51.225808°
E  6.778565°		 ← 191.27 m →
36 582 m²		 N 51.225808°
E  6.781311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518833160400391 y=0.333774566650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518833160400391 × 217)
    floor (0.518833160400391 × 131072)
    floor (68004.5)     		tx = 68004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333774566650391 × 217)
    floor (0.333774566650391 × 131072)
    floor (43748.5)     		ty = 43748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68004 / 43748 ti = "17/68004/43748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68004/43748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68004 ÷ 217
    68004 ÷ 131072     		x = 0.518829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43748 ÷ 217
    43748 ÷ 131072     		y = 0.333770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518829345703125 × 2 - 1) × π
    0.03765869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11830827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333770751953125 × 2 - 1) × π
    0.33245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04444916892178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11830827} λ = 0.11830827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04444916892178))-π/2
    2×atan(2.8418327226627)-π/2
    2×1.23244267819017-π/2
    2.46488535638035-1.57079632675     		φ = 0.89408903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11830827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.778565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89408903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.227528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68004 KachelY 43748 0.11830827 0.89408903 6.778565 51.227528
    Oben rechts KachelX + 1 68005 KachelY 43748 0.11835621 0.89408903 6.781311 51.227528
    Unten links KachelX 68004 KachelY + 1 43749 0.11830827 0.89405901 6.778565 51.225808
    Unten rechts KachelX + 1 68005 KachelY + 1 43749 0.11835621 0.89405901 6.781311 51.225808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89408903-0.89405901) × R
    3.0019999999964e-05 × 6371000     		dl = 191.25741999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89408903-0.89405901) × R
    3.0019999999964e-05 × 6371000     		dr = 191.25741999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11830827-0.11835621) × cos(0.89408903) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.626229303810978 × 6371000     		do = 191.266548526193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11830827-0.11835621) × cos(0.89405901) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.626252708289433 × 6371000     		du = 191.273696856345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89408903)-sin(0.89405901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626229303810978-0.626252708289433)×R²
    abs(0.11835621-0.11830827)×2.3404478455058e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.3404478455058e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.3404478455058e-05×40589641000000     		ar = 36581.8301918306m²