Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68008 / 43752
↖ ↑ ↗
← N 51.220647°
E  6.789551°		 ← 191.26 m → N 51.220647°
E  6.792297°		 →
↑
191.26 m
↓
↑
191.26 m
↓
N 51.218927°
E  6.789551°		 ← 191.26 m →
36 580 m²		 N 51.218927°
E  6.792297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518863677978516 y=0.333805084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518863677978516 × 217)
    floor (0.518863677978516 × 131072)
    floor (68008.5)     		tx = 68008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333805084228516 × 217)
    floor (0.333805084228516 × 131072)
    floor (43752.5)     		ty = 43752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68008 / 43752 ti = "17/68008/43752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68008/43752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68008 ÷ 217
    68008 ÷ 131072     		x = 0.51885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43752 ÷ 217
    43752 ÷ 131072     		y = 0.33380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51885986328125 × 2 - 1) × π
    0.0377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11850002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33380126953125 × 2 - 1) × π
    0.3323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0442574213233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11850002} λ = 0.11850002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0442574213233))-π/2
    2×atan(2.84128786030254)-π/2
    2×1.23238263471978-π/2
    2.46476526943956-1.57079632675     		φ = 0.89396894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11850002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89396894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.220647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68008 KachelY 43752 0.11850002 0.89396894 6.789551 51.220647
    Oben rechts KachelX + 1 68009 KachelY 43752 0.11854795 0.89396894 6.792297 51.220647
    Unten links KachelX 68008 KachelY + 1 43753 0.11850002 0.89393892 6.789551 51.218927
    Unten rechts KachelX + 1 68009 KachelY + 1 43753 0.11854795 0.89393892 6.792297 51.218927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89396894-0.89393892) × R
    3.0020000000075e-05 × 6371000     		dl = 191.257420000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89396894-0.89393892) × R
    3.0020000000075e-05 × 6371000     		dr = 191.257420000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11850002-0.11854795) × cos(0.89396894) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.626322926134076 × 6371000     		do = 191.255240159848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11850002-0.11854795) × cos(0.89393892) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.6263463283547 × 6371000     		du = 191.262386309444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89396894)-sin(0.89393892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626322926134076-0.6263463283547)×R²
    abs(0.11854795-0.11850002)×2.34022206238027e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34022206238027e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34022206238027e-05×40589641000000     		ar = 36579.6671743759m²