Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68016 / 43760
↖ ↑ ↗
← N 51.206883°
E  6.811523°		 ← 191.35 m → N 51.206883°
E  6.814270°		 →
↑
191.32 m
↓
↑
191.32 m
↓
N 51.205163°
E  6.811523°		 ← 191.36 m →
36 610 m²		 N 51.205163°
E  6.814270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518924713134766 y=0.333866119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518924713134766 × 217)
    floor (0.518924713134766 × 131072)
    floor (68016.5)     		tx = 68016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333866119384766 × 217)
    floor (0.333866119384766 × 131072)
    floor (43760.5)     		ty = 43760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68016 / 43760 ti = "17/68016/43760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68016/43760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68016 ÷ 217
    68016 ÷ 131072     		x = 0.5189208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43760 ÷ 217
    43760 ÷ 131072     		y = 0.3338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5189208984375 × 2 - 1) × π
    0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3338623046875 × 2 - 1) × π
    0.332275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04387392612634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11888351} λ = 0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04387392612634))-π/2
    2×atan(2.84019844896029)-π/2
    2×1.23226252085071-π/2
    2.46452504170142-1.57079632675     		φ = 0.89372871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89372871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.206883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68016 KachelY 43760 0.11888351 0.89372871 6.811523 51.206883
    Oben rechts KachelX + 1 68017 KachelY 43760 0.11893145 0.89372871 6.814270 51.206883
    Unten links KachelX 68016 KachelY + 1 43761 0.11888351 0.89369868 6.811523 51.205163
    Unten rechts KachelX + 1 68017 KachelY + 1 43761 0.11893145 0.89369868 6.814270 51.205163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89372871-0.89369868) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dl = 191.321130000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89372871-0.89369868) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dr = 191.321130000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11888351-0.11893145) × cos(0.89372871) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.626510182651834 × 6371000     		do = 191.352336153957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11888351-0.11893145) × cos(0.89369868) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.626533588148787 × 6371000     		du = 191.359484795184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89372871)-sin(0.89369868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626510182651834-0.626533588148787)×R²
    abs(0.11893145-0.11888351)×2.34054969525666e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34054969525666e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34054969525666e-05×40589641000000     		ar = 36610.4290268793m²